La prueba de$G$ es solucionable implica que$G/N$ es solucionable.

Question

Quiero demostrar que si $N$ es normal en $G$ entonces $G$ es solucionable implica $G/N$ es solucionable.

Ahora, $G$ es solucionable, implica que existe una cadena de
$\{e\}=G_0 \trianglelefteq G_1 \trianglelefteq G_2 \trianglelefteq G_3 \cdots \trianglelefteq G_s=G $, de tal manera que $G_i\trianglelefteq G_{i+1}$ e $G_{i+1}/G_i$ es abelian.

Se puede considerar que la cadena de $\overline{N} =G_0N/N \trianglelefteq G_1N/N \trianglelefteq G_2/N \trianglelefteq G_3N/N \cdots \trianglelefteq G_sN/N=G/N $ Quiero mostrar que

1. $G_iN/N \trianglelefteq G_{i+1}N/N $ que es equivalente a mostrar $G_iN\trianglelefteq G_{i+1}N$

2. y $\frac{G_{i+1}N/N} { G_{i}N/N }$ que es isomorfo a $\frac{G_{i+1}N}{G_iN}$ es abelian.

Con un montón de brut de la fuerza de alguna manera puedo probar la primera parte. Pero soy incapaz de probar la segunda parte. Alguien puede sugerirme una elegante prueba de (1) y cualquier prueba de (2)?

Estoy incluyendo una prueba de (1) que me han hecho

Answer 1

2. se sigue inmediatamente de la tercera teorema de isomorfismo. Considerar el mapa de $\phi: G_{i+1}N/N \to G_{i+1}N/G_iN$. Es fácil comprobar que este es un homomorphism con kernel $G_iN/N$.

Habiendo obtenido $\frac{G_{i+1}N/N}{G_iN/N} \simeq G_{i+1}N/G_iN$ necesitamos demostrar que el lado derecho es un grupo abelian. Abundando en el mismo argumento que usan aquí los Cocientes de Solucionable Grupos tienen Solución:

considerar los conmutadores $[xn, ym]$ para $x, y \in G_{i+1}$, $n,m \in N$. Queremos $[xn,ym] \in G_iN$, dado que $[x,y] \in G_i$. Ahora, $[xn,ym]G_iN = ([xn,ym]N)G_i$, por lo que es suficiente para mostrar que $[xn,ym]N = [x,y]N$. Esto es de nuevo la fuerza bruta

$xnymn^{-1}x^{-1}m^{-1}y^{-1}N = xyx^{-1}y^{-1}N$

$\iff nymn^{-1}x^{-1}mN = yx^{-1}N$

$\iff (y^{-1}ny)(mn^{-1})(x^{-1}mx)N = N$, y esto es cierto porque las $N$ es normal.