Integre $\sqrt{x^2 + x}$

Question

Estoy atascado intentando integrar la siguiente expresión: $$ \int (\sqrt{x^2 + x}) dx $$

He probado la sustitución en u donde $u = \sqrt{x}$ pero no llegó lejos. ¿Cómo debería enfocar esto?

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

SUGERENCIA:

Tenga en cuenta que

$$x^2+x=(x+1/2)^2-1/4$$

A continuación, utiliza una sustitución trigonométrica (o trigonométrica hiperbólica) estándar.

Answer 2

Pista:

Puedes usar este u-sub: $$ \sqrt{x^2+x}=u+x $$ $$ x^2+x=u^2+2ux+x^2$$ $$x-2ux=u^2 $$ $$x(1-2u)=u^2$$ $$x=\frac{u^2}{1-2u}$$ $$dx=\frac{-2u(u-1)}{(1-2u)^2}du$$

Answer 3

Para reales no negativos $x$ puede utilizar lo siguiente:

$$\begin{align*}x&=\sinh^2 z\\ \mathrm{d}x &= 2\sinh z \cosh z\,\mathrm{d}z\\\int \sqrt{x(x+1)}\, \mathrm{d}x &= 2 \int \sinh^2 z \cosh^2 z \, \mathrm{d}z\\&=\frac{1}{4}\int (\cosh 4z - 1) \mathrm{d}z \\ &\,\,\,\vdots \\ &= \frac{(2x+1)\sqrt{x^2+x}-\sinh^{-1}{\sqrt{x}}}{4}\end{align*}$$