Encuentra la suma de la serie.

Question

Necesito encontrar la siguiente suma:
$$\sum_{s=0}^{n+1}{(-1)}^{n-s}4^s\binom{n+s+1}{2s}$$

Primero traté de simplificar este: $$\begin{split} \sum_{s=0}^{n+1}{(-1)}^{n-s}4^s\binom{n+s+1}{2s} &= {(-1)}^n\sum_{s=0}^{n+1}{(-1)}^{s}2^{2s}\binom{n+s+1}{2s} \\ &= \left[{(-1)}^{m-1}\sum_{s=0}^m{(-1)}^{s}x^{2s}\binom{m+s}{2s}\right](2) \end{split} $$

Ahora he reducido el problema a la siguiente: "Buscar la generación de la función para la siguiente secuencia"
$$\sum_{s=0}^m{(-1)}^{s}x^{2s}\binom{m+s}{2s}$$

¿Alguien tiene alguna idea de cómo resolver este problema? Porque si ponerlo a la de Wolfram|Alpha resultado es terryfing y espero que la generación de la función producido por wolfram es demasiado generalizada (para los valores de x y m).

UPD: puse el mal sequece a Wolfram|Alpha, aquí es la manera correcta de uno.
Así, Wolphram|Alfa dice ahora, que: $$\sum_{s=0}^m{(-1)}^{s}x^{2s}\binom{m+s}{2s} = \frac{2\cos\left((2m+1)\arcsin\left(\frac2x\right)\right)}{\sqrt{4-x^2}}$$ Por desgracia, no se ha definido para $x=2$. Mientras que cuando nos pusimos $x=2$ para la consulta inicial (Sum[(-1)^s*2^(2s)*Binom(m+s,2s),{s,0,m}]) la respuesta es la siguiente: $$\sum_{s=0}^m{(-1)}^{s}2^{2s}\binom{m+s}{2s} = {(-1)}^m(2m+1)$$ Y todavía me pregunto, ¿cómo demostrar que?

Answer 1

Si desea aplicar funciones de generación, normalmente no debe reemplazar una constante aleatoria en la suma con una variable (aunque en este caso particular, esto también funciona). Debe llamar a la suma completa$S_n$ y observar la función de generación con los coeficientes$S_n$.

Answer 2

Supongamos que buscamos para evaluar $$\sum_{q=0}^{n+1} (-1)^{n-q} 4^p {n+p+1\elegir 2t} = (-1)^n \sum_{q=0}^{n+1} (-1)^{q} 4^p {n+p+1\elegir n+1-q}.$$

Usamos la integral $${n+p+1\elegir n+1-q} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{n+p+1}}{z^{n-q+2}} \; dz.$$

Este tiene la propiedad de que es cero cuando $q\gt n+1$, por lo que podemos extender $q$ hasta el infinito para obtener $$\frac{(-1)^n}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{n+1}}{z^{n+2}} \sum_{q\ge 0} (-1)^{q} 4^p (1+z)^q z^q\; dz.$$

Este rendimientos $$\frac{(-1)^n}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{n+1}}{z^{n+2}} \frac{1}{1+4(1+z)z} \; dz \\ = \frac{(-1)^n}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{n+1}}{z^{n+2}} \frac{1}{(2z+1)^2} \; dz.$$

Extraer el residuo obtenemos $$(-1)^n \sum_{q=0}^{n+1} {n+1\elegir n+1-q} \times (-1)^q \times (q+1) \times 2^q \\ = (-1)^n \sum_{q=0}^{n+1} {n+1\elegir q} \times (-1)^q \times (q+1) \times 2^q.$$

Ahora observar que $$(x(1+x)^n)' = \sum_{i=0}^n {n\elegir r} (r+1) x^r = (1+x)^n + nx (1+x)^{n-1}.$$

Esto le da dos componentes para la suma, la primera es $$(-1)^n (-1)^{n+1} = -1,$$ y la segunda es $$(-1)^n \times (n+1) \times (-2) \times (-1)^{n}$$

para una respuesta final de $$-1- 2(n+1) = -2n-3.$$