Deje que$f$ sea una función de la clase$C^2$ de$ \mathbb{R^{+,*}}$ a$\mathbb{R^{+, *}}$ (donde$\mathbb{R^{+,*}}$ denota el conjunto de reales no negativos) tal que$f''>f$ y $f$ está delimitado arriba. Muestra esa $f \le f(0)e^{-x}$.
Respuestas
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$f'$ es creciente debido a $f''(x) > f(x) \ge 0$. A continuación, $f'$ debe ser negativo debido a $f$ sería ilimitado de otra manera.
En primer lugar, defina $g(x) = e^{-x} (f'(x) + f(x))$. Entonces $$ g'(x) = e^{-x}(f"(x) - f(x)) > 0 $$ de modo que $g$ es cada vez mayor. De ello se desprende que para $ x < a$ $$ e^{-x} (f'(x) + f(x)) \le e^{-a} (f'(a) + f(a)) \le e^{-a}M $$ donde $M$ es un límite superior para $f$. Dejando $a \to \infty$ tenemos que el lado izquierdo es $\le 0$, es decir, $$ f'(x) + f(x) \le 0 \text{ para todo } x \ge 0 \, . $$
Definir finalmente,$h(x) = e^x f(x)$. Entonces $$ h'(x) = e^x(f'(x) + f(x)) \le 0 $$ de modo que $h$ está disminuyendo. De ello se sigue que $$ e^x f(x) = h(x) \le h(0) = f(0) \, . $$
andy.holmes
Puntos
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Deje $0\le a \le x$. De ello se sigue que $$ f"(x)-f'(x)>f'(x)+f(x) \\ \frac{d}{dx} e^{-x}f'(x))>-\frac{d}{dx} e^{-x}f(x)) \\ e^{-x}f'(x)-e^{-a}f'(a)>-e^{-x}f(x)+e^{-a}f(a) \\ \frac{d}{dx} e^{x}f(x))>e^{2x-a}(f'(a)+f(a)) \\ e^{x}f(x)-e^{a}f(a)>\frac12e^{-a} e^{2x}-1)(f'(a)+f(a)) \\ f(x)>e^{- x}f(a)+\frac12(e^{- x}-e^{-x})(f'(a)+f(a)) $$ Como el lado izquierdo es limitada, por lo que es el lado derecho. Esto sólo puede ser si $$ \frac12e^{- x}(f'(a)+f(a))\le0, $$ y este debe mantener para todos los $a>0$.
Por lo tanto $\frac{d}{dx}(e^xf(x))\le0$ que conduce directamente a la demanda.
