Encuentra todos los números racionales$a,b,c$ satisfacer:
PS
Intento cambiar esto en diferentes formas como$$a+b+c=abc$,$(ab-1)c = a+b$,$(ac-1)b = a+c$ etc, pero no ayudará ...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El proyecto original de esta respuesta parece no ser suficiente:
Si los coeficientes de las tangentes de la mitad de los ángulos son racionales, ¿eso significa que la proporción de las tangentes de los ángulos no se dividen por $2$ son racionales. Parecería que no. A continuación, el doble de los ángulos, y obtener tangentes $$ \frac{2}{1-w^2}\text{ y }\frac{2x}{1-x^2}. $$ Es la relación de estos racional? Esa relación es $\dfrac{1-w^2}{1-x^2}$. Es racional si $\dfrac{w}{x}$ es racional? E. g. ¿es racional si $w/x=3$? En otras palabras, debe $(1-9x^2)/(1-x^2)$ ser racional, independientemente de que el valor de $x$? Parece que no, por lo que hay más trabajo que hacer en esta.
El proyecto original de esta respuesta aparece a continuación:
Si $\alpha+\beta+\gamma=\pi$$\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma$, y creo que usted debe ser capaz de demostrar que si $a,b,c$ satisfacer la propuesta de identidad, luego adecuado $\alpha,\beta,\gamma$ existen para que las $a=\tan\alpha$ etc. De acuerdo a la ley de las tangentes, las proporciones de las sumas y diferencias de los lados de un triángulo son racionales sólo si el mismo es cierto de las tangentes de la mitad de las sumas y diferencias de los ángulos opuestos. A través de identidades trigonométricas, creo que usted debe ser capaz de demostrar que las razones de los lados son racionales iff las proporciones de las tangentes de los ángulos opuestos son racionales. De esa manera, usted debe ser capaz de reducir el problema a la búsqueda de la no-triángulos rectángulos en los que la proporción de las longitudes de los lados son racionales. A continuación, sólo recordar el triángulo de la desigualdad. Esto le da un montón de soluciones.
