Grupo de Galois de $(x^3-2)(x^5-1)$ en $\mathbb{Q}$ .

Question

Estoy estudiando para mi final de teoría de Galois para mañana (y realmente me estoy quemando), necesito ayuda con la siguiente pregunta:

Grupo de Galois $G$ de $f(x)=(x^3-2)(x^5-1)$ en $\mathbb{Q}$ .

Dejemos que $\alpha = \sqrt[3]{2}$ y que $\omega_3$ sea la raíz cúbica primitiva de la unidad, y $\omega_5$ el primitivo $5$ raíz de la unidad. El campo de división para $f$ es $E=\mathbb{Q}(\alpha,\omega_3, \omega_5)$ . Sabemos que $E:\mathbb{Q}$ es separable ya que $\text{char}\mathbb{Q}=0$ y que es normal ya que es un campo de división. Por lo tanto, $E:\mathbb{Q}$ es Galois. Así que $|G|=|E:\mathbb{Q}|$ . Me resulta fácil demostrar que $\text{Gal}((x^3-2)/\mathbb{Q}) \cong S_3$ y que $\text{Gal}((x^5-1)/\mathbb{Q}) \cong C_4$ .

Pero, ¿cómo puedo determinar $\text{Gal}(f)$ ? ¿Cómo puedo encontrar el tamaño de la extensión $|E:\mathbb{Q}|$ ? Sé que es divisible por $6$ y $4$ .

Edición: Veo que la gente menciona el resultado sobre los productos cartesianos. Yo no he visto este resultado. Dado que se trata de una pregunta de examen pasada me interesaría una prueba que no utilice el resultado

Answer 1

El grupo de Galois de $f=gh$ es igual al producto cartesiano del grupo de Galois de $g$ y el grupo de Galois de $h$ si el campo de división de $g$ en $\mathbb{Q}$ es disjunta con el campo de división de $h$ en $\mathbb{Q}$ . Es decir, hay que determinar si $\mathbb{Q}(\omega_3,\sqrt[3]{2})\cap\mathbb{Q}(\omega_5)=\mathbb{Q}$ . Si se muestra, usted tiene que Gal $(\mathbb{Q}(\omega_3,\sqrt[3]{2},\omega_5)/\mathbb{Q})\cong S_3\times C_4$ .