Grafica tangente a un circulo

Question

Estoy tratando de encontrar el número real positivo $b$ tal que la gráfica de $f(x)=\ln(x+b)$ es tangente a la circunferencia $x^2+y^2=1$. Aquí va mi intento:

Me doy cuenta de que el punto de tangencia debe estar en la mitad superior del círculo si $b$ es positivo, así que definen $g(x)=\sqrt{1-x^2}$ (la mitad superior del círculo). Ahora, yo CREO que si dos grafos $f$ e $g$ son tangentes a cada uno de los otros a $x=a$, a continuación, $f(a)=g(a)$ e $f'(a)=g'(a)$ (corríjanme si me equivoco). Ahora, $f'(x)=\frac{1}{x+b}$, e $g'(x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$. Por lo tanto, estamos básicamente de problemas para el $x$ valor del punto de tangencia y $b$. Ahora, no estoy seguro de dónde ir desde aquí. He utilizado un gráfico para estimar una solución entre $b=2.9$ e $b=3$. Alguien puede ayudarme?

Answer 1

La solución de la ecuación de $f'(x)=g'(x)$ para $b$, se obtiene $$ b = -x - \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $$ Conectarlo a $f(x) = g(x)$ y usted tiene $$ \ln \left(-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right) = \sqrt{1-x^2} $$ Este es improbable que se han cerrado de forma soluciones, pero se puede usar métodos numéricos, tales como el de Newton. Arce me dice $$ x = -0.3669416757$$ que corresponde a $$ b = 2.902069222$$

Answer 2

Satrting de Robert Israel la respuesta de buscar el cero de la función $$f(x)=\ln \left(-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right) - \sqrt{1-x^2}$$ Plotting the function, we can see that the root is quite close to $-0.4=\el frac de 25$.

Realizar una expansión de Taylor alrededor del valor para obtener $$f(x)=\left(\log \left(\frac{\sqrt{21}}{2}\right)-\frac{\sqrt{21}}{5}\right)+\left(\frac{12 5}{42}-\frac{2}{\sqrt{21}}\right) \left(x+\frac{2}{5}\right)+\left(\frac{8125}{3528}+\frac{125}{42 \sqrt{21}}\right) \left(x+\frac{2}{5}\right)^2+O\left(\left(x+\frac{2}{5}\right)^3\right)$$ which is a quadratic in $\left(x+\frac{2}{5}\right)$.

Resolver para conseguir lo $x\approx -0.366863\implies b\approx 2.90262$ que no es demasiado malo.

Seguro, usted puede pulir la raíz usando el método de Newton y el uso de la conjetura para $x_0$, la recorre sería $$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & -0.36686326831355560408 \\ 1 & -0.36694166770061389757 \\ 2 & -0.36694167568391188355 \\ 3 & -0.36694167568391196631 \end{array} \right)$$