Ejemplo 2, Sec. 31, en TOPOLOGÍA de Munkres, 2ª ed: Normalidad de $\mathbb{R}_l$ --- ¿Por qué estos dos conjuntos son disjuntos?

Question

El conjunto $\mathbb{R}$ de números reales con la topología del límite inferior teniendo como base la colección de todos los intervalos cerrados-abiertos $[a, b)$ , donde $a, b \in \mathbb{R}$ con $a < b$ se denota por $\mathbb{R}_l$ .

Este es el ejemplo 2, sección 31, del libro Topología por James R. Munrkres, 2ª edición:

El espacio $\mathbb{R}_l$ es normal. Es inmediato que los conjuntos de un punto son cerrados en $\mathbb{R}_l$ ya que la topología de $\mathbb{R}_l$ es más fina que la de $\mathbb{R}$ . Para comprobar la normalidad, supongamos que $A$ y $B$ son conjuntos cerrados disjuntos en $\mathbb{R}_l$ . Para cada punto $a$ de $A$ elegir un elemento base $\left[ a, x_a \right)$ sin intersección $B$ y para cada punto $b$ de $B$ elegir un elemento base $\left[ b, x_b \right)$ sin intersección $A$ . Los conjuntos abiertos $$ U = \bigcup_{a \in A} \left[ a, x_a \right) \qquad \mbox{ and } \qquad V = \bigcup_{b \in B} \left[ b, x_b \right) $$ son conjuntos abiertos disjuntos sobre $A$ y $B$ respectivamente.

En la prueba anterior, ¿cómo sabemos que los conjuntos $U$ y $V$ ¿son realmente disjuntos?

Mi intento:

Supongamos que $U$ y $V$ no son disjuntos. Sea $p$ sea un punto de $U \cap V$ . Entonces hay algunos puntos $a \in A$ y $b \in B$ tal que $$ p \in \left[a , x_a \right) \qquad \mbox{ and } \qquad p \in \left[ b, x_b \right). $$ Pero como el intervalo $\left[a , x_a \right)$ no se cruza con $B$ y como el intervalo $\left[ b, x_b \right)$ no se cruza con $A$ por lo que también debemos tener $$ p \in \left(a , x_a \right) \qquad \mbox{ and } \qquad p \in \left( b, x_b \right). $$

¿Y ahora qué? ¿Cómo proceder a partir de aquí para llegar a nuestra deseada contradicción? O, ¿hay alguna forma alternativa de mostrar estos conjuntos $U$ y $V$ para ser disjuntos?

PS:

Creo que ahora he conseguido esta cifra.

Dado que el intervalo $\left[a , x_a \right)$ no se cruza con $B$ ya que el intervalo $\left[ b, x_b \right)$ no se cruza con $A$ y como $a \in A$ y $b \in B$ Por lo tanto, debemos tener lo siguiente:

O bien $x_a < b$ o $x_b < a$ .

Y, a continuación, los intervalos $\left[a , x_a \right)$ y $\left[ b, x_b \right)$ resultará ser disjunta, en contra de nuestra suposición.

¿Es correcto este razonamiento? Si es así, ¿también es libre de lagunas? ¿O hay alguna otra forma de corregirlo o mejorarlo?

Answer 1

Si para todo x > a, [a,x) interseca a B,
entonces como B es cerrado, a está en B.
Por lo tanto, se puede elegir una x para que [a,x) falle en B.