Hola tengo un tiempo difícil con la integración de la integral doble con número de euler con poder incluir en él. Tengo $$\int_0^1\int_0^2x^2ye^{xy}dxdy$$ so i am trying to use substitution for solving it. as follows i say $u = y$ $du = 1$ $v=ye^{xy}$ i am not sure for $dv$ here is it $e^{xy}$ or it is $\frac{e^{xy}}{x}$ ? Then i use the $Integration$ $by$ $parts$ $formula$ $$\int_a^budv=uv|_a^b-\int_a^bvdu$$ so from here i have $$\int_0^1x^2ye^{xy}|_0^2-\int_0^2x^2\frac{e^{xy}}{x}$$ a first thing i notice here i am left with 2 integrals one with respect to $dx$ and another with respect to $dydx$ that is confusing me in the first place so i am continue to integrate now i think i don't need $u$ $substitution$ to finish the integral with respect to $dy$ it must be : $$\int_0^1(2e^{2x}|_0^2-e^{2x}+e^0 )dx$$ From here i must do another $u$ $sub$ para x en este momento. Así que estoy teniendo muchos pasos que no estoy seguro de que son correctos si alguien me puede ayudar a entender lo que está sucediendo aquí. Gracias de antemano.
Respuesta
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Vamos a hacer la integración en el siguiente orden: $$\int_0^1\int_0^2x^2ye^{xy}dxdy=\int_0^2x^2\int_0^1ye^{xy}dydx.$$
La integral de la parte interna (integración por partes) es
$$\int_0^1 ye^{xy}dy=e^{xy}\frac{xy-1}{x^2}\big|_0^1=e^x\frac{x-1}{x^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{xe^x-e^x+1}{x^2}.$$
Cuando se realiza el exterior integral de la $x^2$ cancela. Es decir, hemos $$\int_0^2xe^xdx-\int_0^2e^xdx+\int_0^21dx=e^x(x-2)+x\big |_0^2=4.$$
EDITAR
Lo haremos de la siguiente integral indefinida por partes: $$\int ye^{xy}dy.$$
Deje $u=y$ e $v'=e^{xy}$. A continuación, $v=\frac{e^{xy}}{x}$. Así
$$\int ye^{xy}dy= y \frac{e^{xy}}x-\int \frac{e^{xy}}xdy=y \frac{e^{xy}}x-\frac{e^{xy}}{x^2}=e^{xy}\frac{xy-1}{x^2}.$$
