Sabemos que $(P(X), \Delta) $ forma un grupo, donde $P(X) $ es el conjunto de potencias sobre el conjunto no vacío $X$ y $A\Delta B=(A-B) \cup (B-A)$ para todos $A, B\in P(X) $ . Claramente $\emptyset$ es el elemento de identidad. ¿Cómo puedo calcular $E$ de la relación $Y\Delta E=Y$ para todos $Y\in P(X) $ .
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AsBk3397
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Por definición, tenemos $B-A = \{x|x \in B \text{ and }x \notin A\}$ . También hay que tener en cuenta que desde $A\Delta B=(A-B) \cup (B-A)$ tenemos $B-A \subseteq A \Delta B$ .
Ahora, buscamos el conjunto $E$ que satisface $Y\Delta E= (Y-E) \cup (E-Y) = Y$ para todos $Y\in P(X)$ . En primer lugar, si $E-Y \ne \emptyset$ entonces existe un elemento $a$ tal que $a \in E$ pero $a \notin Y$ . Pero entonces, como $E-Y \subseteq Y$ tenemos una contradicción porque $a \in E-Y$ pero $a \notin Y$ . Así que tenemos que tener $E-Y = \emptyset$ . Esto significa que $E \subseteq Y$ .
Ahora bien, como $E-Y = \emptyset$ tenemos $Y \Delta E = (Y-E) \cup (E-Y) = Y-E = Y$ para todos $Y \in P(X)$ . Y esto sólo es posible cuando $E = \emptyset$ .
