Resuelve para$x, y \in \mathbb R$:$x^2+y^2=2x^2y^2$ y$(x+y)(1+xy)=4x^2y^2$

Question

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones. PS

Del sistema de ecuaciones, tenemos que

PS

PS

No sé qué hacer a continuación. Por favor ayudame a resolver este problema.

Answer 1

Estos son simétricas ecuaciones, por lo que denota $s=x+y,p=xy$ hemos $$s^2-2p=2p^2$$ $$s(1+p)=4p^2$$ Ahora eliminan $s$: $$s^2=2p^2+2p=\left(\frac{4p^2}{1+p}\right)^2$$ $$2p(1+p)^3=16p^4$$ Si $p=0$ entonces $s=0$ y obviamente $x=y=0$. De lo contrario, dividir por $p$: $$(1+p)^3=(2p)^3$$ Suponiendo que sólo son problemas en los reales: $$1+p=2p\qquad p=1,s=2$$ Por Viète fórmulas, $x$ e $y$ son las raíces de $t^2-2t+1$, de la cual obtenemos $x=y=1$.

Answer 2

La primera ecuación es equivalente a $(x+y)^2=2xy(1+xy)$ .

Ahora, al multiplicar la segunda ecuación por la relación anterior, se obtiene: $$(x+y)^3=(2xy)^3$$ thus $ x + y = 2xy$ and then: $$(x+y)^2=2\times 2x^2y^2=2(x^2+y^2)\iff (x-y)^2=0$ $

Answer 3

\begin{align*} (x+y)^2(1+xy)^2&=(4x^2y^2)^2\\ (x^2+y^2+2xy)(1+xy)^2&=16x^4y^4\\ (2x^2y^2+2xy)(1+xy)^2&=16x^4y^4\\ 2xy(1+xy)^3&=16x^4y^4 \end {align *} Entonces, $xy=0$ o $1+xy=2xy$ .

$xy=0$ o $1$ .

Si $xy=0$ , $x=y=0$ .

Si $xy=1$ , $x=y=1$ .