Así que claramente si $G$ es abeliano y $H$ es un subgrupo normal de $G$ entonces $G/H$ es abeliano ya que $$xH.yH =(xy)H=(yx)H=yH.xH$$ ¿Pero hay casos en los que este grupo cociente es abeliano sin que el grupo G sea abeliano?
Lo que se me ocurrió es que para $(xy)H=(yx)H$ sea cierto, entonces $(xy)^{-1}(yx)\in H$ debe satisfacerse, ya que todos los $x,y \in G$ . ¿Es esto correcto? ¿Y algún ejemplo de esto? Gracias :-)
Sí, como se menciona en los comentarios siempre se puede tomar el cociente por el llamado subgrupo conmutador . Es decir, el grupo generado por todos los conmutadores $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ de elementos de $G$ .
Este cociente es siempre abeliano, y se denomina abelianización de $G$ .
Ahora, la respuesta a la pregunta del título es que el cociente $G/H$ será abeliano si $H$ contiene el conmutador, también conocido como el "primer subgrupo derivado": $[G,G]\le H$ .
¿Pero hay casos en los que este grupo cociente es abeliano sin que el grupo G sea abeliano?
Respuesta: Considere $G:=Q_8$ , el grupo de cuaterniones y $H:=\{\pm1,\pm i\}$ .entonces $G/H$ es abeliana mientras que $G$ no lo es.
$Q_8$ es el grupo de cuaterniones que contiene ocho elementos: $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$ , siguiendo las reglas $$ij = k, jk = i, ki = j$$ $$i^2 = j^2 = k^2 = -1$$
Utiliza la noción de subgrupo conmutador para demostrar la siguiente caracterización:
Dejemos que $G$ sea un grupo cualquiera y que $H$ sea un subgrupo normal. Denotemos el subgrupo conmutador de $G$ por $[G,G]$ .
Entonces el cociente $G/H$ es abeliano si y sólo si $[G,G]\le H$ .
Esto da una forma fácil de identificar si los cocientes serán abelianos o no, dado que se sabe algo sobre $[G,G]$ .
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Sí, esta es la propiedad universal del subgrupo derivado. Obsérvese que $H=G$ es siempre un ejemplo bastante trivial.
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Su segundo párrafo apunta a la idea de abelianización