¿Existen ecuaciones que tengan soluciones en todos los grupos pero que no sean resueltas algebraicamente?

Question

No estoy seguro exactamente de cómo frase de este problema así que appologise si no está claro, también, que esto es un poco largo, pero quería explicar exactamente donde estaba el problema. Si usted tiene alguna pregunta no dude en preguntar.

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Descripción del Problema

Dado un conjunto de variables de $\{x,y,z,...\}$ y una variable $o$ es posible definir un producto finito de estas variables y sus inversos $\sigma(x,y,z,...,x^{-1},y^{-1},z^{-1},...,o,o^{-1})$ (es decir, una secuencia finita compone de estas variables y sus inversas) tales que;

1) Para cualquier grupo de $G$ y cualquier asignación de valores de $G$ a $\{x,y,z,...\}$ existe un único elemento $g$ de $G$ que si $o$ se establece a $g$;

$\sigma(x,y,z,...,x^{-1},y^{-1},z^{-1},...,o,o^{-1})=1$

y

2) no existe un número finito de producto $\gamma(x,y,z,...,x^{-1},y^{-1},z^{-1},...)$ tales que;

$o=\gamma(x,y,z,...,x^{-1},y^{-1},z^{-1},...)$ para todos los grupos de $G$

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Áspero explicación de por qué estoy pidiendo aquí

Mi intuición es que no, pero estoy seguro de cómo probar esto. Hay claros ejemplos de ecuaciones como estos solucionable en todos los grupos (es decir, $xo=1$) pero estas soluciones algebraicas (en el ejemplo de $o=x^{-1}$) y hay ejemplos de estas ecuaciones que se pueden resolver en muchas clases de grupos (es decir, $o^{n!+1}x=1$ es soluble en cualquier grupo de orden menor que $n$ con $o=x^{-1}$), pero estos no son resolubles en todos los grupos. Además de algunas de las ecuaciones que se pueden resolver en todos los grupos, pero no de forma exclusiva (es decir, $o^2=1$ tiene muchas soluciones en grupos con elementos de orden 2, pero siempre puede ser resuelto con $o=1$)

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El progreso en la prueba (o de la prueba de la falsedad)

Se puede demostrar que $\sigma$ debe contener exactamente $\pm1$ total de ocurrencias de $o$ (donde $o^{-1}$ cuenta como $-1$ la ocurrencia de la o) usando el siguiente argumento.

Si $G$ es abelian, a continuación, $\sigma$ puede ser escrito como $Ao^n$ para algunos $A$ que es un producto de las otras variables. Para que esto sea solucionable $o^n=A^{-1}$ deben ser resueltos en cada grupo abelian. Si $A=1$ $o$ no está definida de forma única para los grupos de orden $|n|$. Si $A\neq1$ e $|n|\neq1$ entonces $o$ no está definida para los grupos de orden $|n|$ o $n=0$ e lo $o$ no es única. Por lo tanto, $|n|=1$ y por lo que el número total de ocurrencias de $o$ en $\sigma$ debe $\pm1$.

Además es claro que debe haber un número impar de ocurrencias de $o$ mayor que $1$ (esta vez recuento $o^{-1}$ como $1$de ocurrencia). Esto se deduce ya que de lo contrario no hay una definición clara de $\gamma$ (si no es $1$de ocurrencia) o la observación anterior es violado (si hay un número par de ocurrencias).

Esto es donde estoy y no estoy seguro de cómo proceder. Disculpas de nuevo por esta siendo demasiado larga. Cualquier información o consejo se agradece.

Answer 1

Si usted requiere la unicidad de la solución, entonces yo no creo que esto sea posible.

Para acortar la notación, para un conjunto $X$ voy a escribir $\sigma(X)$ para denotar una palabra en elementos de $X$. Deje $X$ ser un conjunto, vamos a $o$ ser una variable, y deje $\sigma(X, o)$ ser cualquier palabra. A continuación, el grupo

$$G = \langle X, s, t~|~\sigma(X, s) = \sigma(X, t) = 1\rangle$$

falla la singularidad de la condición de soluciones a $\sigma(X, o)$.

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Por lo tanto, vamos a considerar el caso en que no se asume la singularidad. En este caso, es (uninterestingly) posible.

El requisito de que $\sigma(X, o) = 1$ para todos los grupos de medios que, en particular, esto debe ser cierto para el grupo libre $F(X\cup\{o\})$. Esto significa que $\sigma(X,o)$ debe reducir a un trivial de la palabra por la definición de libre grupos.

El único requisito siguiente es que $o\notin \langle X\rangle$. Por lo tanto, se puede producir una situación en la que desee en la siguiente forma: vamos a $G$ ser cualquier grupo con elemento de identidad $e$, e $\sigma(X,o)$ ser cualquier palabra que se reduce a la trivial de la palabra.

Entonces, la asignación de $x\mapsto e$ para todos los $x\in X$ e $o\mapsto g$ cualquier $g\ne e$ en $G$ satisface sus requisitos.

Answer 2

Bueno por lo que tengo no respondió a mi pregunta. Si esto no parece una respuesta es probablemente debido a que yo sea incapaz de describir claramente la pregunta que yo quería hacer así que lo siento. También no estoy seguro de que la mejor manera de explicar la respuesta.

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Se puede demostrar que no hay tal ecuación existe contradicción. Primero suponga que existe $\sigma$ como es requerido por el problema. Deje $n$ el número de variables que se necesita (excluyendo $o$ y sólo el recuento $x$ no $x^{-1}$ por ejemplo). Tome el grupo $F_n$ (el grupo libre con $n$ generadores) y asignar a cada una de las variables que $\sigma$ tarda $x_1,x_2,...$ uno diferente de los generadores $g_1,g_2,...$. Encontrar el valor de $o$ correspondiente a esta situación. Por definición de $F_n$, $o$ puede ser escrito como un producto finito de $g_1,g_2,...$. Escribir $\gamma$ como esta representación de $o$ pero donde los generadores son sustituidas por las correspondientes variables. Por lo tanto, por definición, de la que el grupo de free en todos los grupos de $o=\gamma$ es una solución.

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Lo siento si esto no es claro. También gracias a Santana Afton para mencionar con el grupo en el que hay respuesta.