Probar la representación del producto Hadamard.

Question

Deje $A$ e $B$ ser $m \times n$ matrices con bajo rango de estructuras: $$A = U_{Un}\Sigma_{Un}V_{A}^{T},\quad B= U_{B}\Sigma_{B}V_{B}^{T},$$

Demostrar que el producto de Hadamard $A\circ B$ admite la siguiente representación $$Un\circ B = (U_{A}^T\odot U_{B}^T)^T (\Sigma_{Un}\otimes\Sigma_{B})(V_{A}^{T}\odot V_{B}^{T}),$$ donde $\odot$ representa el Khatri-Rao producto, y $\otimes$ el producto de Kronecker.

Answer 1

Usaremos las siguientes propiedades y definiciones: \begin{align} (A\odot^T B)(C\odot D) = (AC)\circ(BD),\label{eq:khr-had}\\ (A\otimes B)(C\odot D) = (AC)\odot(BD),\label{eq:khr-kro} \end {align} Es fácil probar que el producto de Hadamard de A y B admite la siguiente representación: \begin{align} A \circ B &= (U_{A}\Sigma_{A}V_{A}^{T})\circ(U_{B}\Sigma_{B}V_{B}^{T})\nonumber\\ &= (U_{A}^T\odot U_{B}^T)^T (\Sigma_{A}V_{A}^{T}\odot \Sigma_{B}V_{B}^{T})\nonumber\\ &=(U_{A}^T\odot U_{B}^T)^T (\Sigma_{A}\otimes\Sigma_{B})(V_{A}^{T}\odot V_{B}^{T})\label{eq:repres} \end {align} donde $\odot$ representa el Producto de Khatri-Rao y $\otimes$ del producto Kronecker.