Existencia de$r(t)$ continuo con$\lim_{t \to \infty} \frac{f(r(t))}{g(t)} = 1$

Question

Deje $ \ f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ $ ser continuamente diferenciable funciones que $$\lim_{t \to \infty} f(t) = \infty = \lim_{t \to \infty} g(t) \ \ . $$ Mi pregunta es:

Existe una función continua $ \ r: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ $ tal que $$\lim_{t \to \infty} \frac{f \big( r(t) \big)}{g(t)} = 1 \ \ \ \ ? $$

Me gustaría consejos para una prueba o un contraejemplo. Usted puede sentirse libre para modificar las suposiciones acerca de $f$ e $g$ como usted por favor.

Gracias de antemano.

Answer 1

Considerar las funciones $f(t)=t(2+\cos t)$ e $g(t)=t$. Son infinitamente diferenciable en todo el dominio. Ahora supongamos que la función anterior $r$ existe.

Deje $T>0$ ser lo suficientemente grande como para $\frac 2 3 < \frac {f(r(t))}{g(t)} < \frac 4 3$ a todos los $t>T$. Esto implica $$T<t_1<t_2 \implies \frac {f(r(t_1))}{f(r(t_2))} < \frac {\frac 4 3 \, g(t_1)}{\frac 2 3 \, g(t_2)}=2\,\frac {t_1}{t_2} < 2\,. \tag{1}\label{eq1}$$ Tenga en cuenta que $|f(t)| \le 3|t|$, $f(t)$ tiene el signo de $t$, por lo tanto para todos los $t>T$ tenemos: $\frac 2 3 t = \frac 2 3 g(t) < f(r(t)) \le 3 r(t)$ y, por tanto, $\lim\limits_{t \to +\infty} r(t) = +\infty$. Seleccione $n \in \mathbb N$ tal que $2 \pi n > r(T)$ y dejar $$t_1=\inf\,\{t>T \mid r(t)=2 \pi n\},\quad t_2=\inf\,\{t>T \mid r(t)=(2n+1) \pi\}.$$ By the intermediate value theorem, $T<t_1<t_2$. Now we see that $$\frac {f(r(t_1))}{f(r(t_2))}=\frac {f(2\pi n)}{f((2n+1) \pi)}=\frac {2 \pi n \cdot 3}{(2n+1) \pi \cdot 1}=\frac {6n}{2n+1} \ge 2\,,$$ that contradicts $\eqref{eq1}$.