Decadencia de la transformada de Fourier de una función de Schwartz

Question

Supongamos que tenemos una función de $f(x)\in \mathcal{S}(\mathbb R)$; es decir, es una función en el espacio de Schwartz. Además, supongamos que sabemos que $$|f(x)|\leq Ce^{-|x|}.$$If it is helpful, we can actually replace the exponent on $|x|$ by any $1<c<2$ (in other words, it doesn't seem to be "too far" from a Gaussian). With this information, is there anything we can say about the decay of the Fourier transform of $f(x)$ beyond the fact that it is in the Schwartz class? In particular, does it necessarily decay like $f(x)$, or could it decay much slower, say like $\exp(-(1+x^2)^c)$ for some arbitrarily small $c>0$?

He probado buscando en internet y no he encontrado mucho. Lo que he encontrado es:

• La transformada de Fourier es un isomorfismo lineal del espacio de Schwartz; en particular, sabemos que la transformada de Fourier es también en el espacio de Schwartz

• El Gaussiano, $g(x)=e^{-x^2}$, es esencialmente un punto fijo de este isomorfismo (presentamos algunas constantes, pero la decadencia de la función y la decadencia de la transformación es idéntica, ya que sólo estoy preocupado por la decadencia, estoy utilizando el término "punto fijo", un poco de rigor).

Algo más de información que podría ser útil, aunque no podía encontrar ningún uso concreto:

• $f(x)$ es esencialmente la función característica de una variable aleatoria, lo que significa que la transformada de Fourier es la correspondiente función de densidad. Específicamente, esto significa que la transformada de Fourier tiene un máximo valor en $0$ (que es igual a $1$) y disminuye a $0$ como $|x|\to\infty$.

Incluso sin nada en particular, las referencias se agradece. He intentado buscar en Folland del libro así como de Stein/Shakarchi libros, pero estos no han ofrecido ninguna información para este problema.

Answer 1

Esa condición no dice nada acerca de la decadencia de $\hat f$. Como regla general, las condiciones de la decadencia de $f$ dar suavidad para $\hat f$ (aquí, por ejemplo, de ello se sigue que $\hat f$ es holomorphic en una franja horizontal).

Edit: la versión Anterior había un hueco. A modo de reflexión me di cuenta de que un ejemplo de llenado de la brecha también sería un contraejemplo a la pregunta, así que la respuesta era muy poco contenido.

Real contraejemplo: Vamos a $(z+2i)^{1/4}$ denotar la rama principal de la raíz cuarta, por lo que, en particular, si $y\ne-2$ es fijo, a continuación, $$(x+iy+2i)^{1/4}\sim x^{1/4}\quad(x\to+\infty).$$Note that $$\Re(-x+iy+2i)^{1/4}\sim \frac1{\sqrt 2}|x|^{1/4}\quad(x\to+\infty).$$Let $$F(z)=e^{-(z+2i)^{1/4}}$$and define $$F_y(x)=F(x+iy).$$Then $$F_y(x)=O(|x|^{-N}),$$uniformly for $| s|\le1$; so a little bit of complex analysis shows that $$F_0\in\mathcal S.$$

De modo que existe $f\in\mathcal S$ con $F_0=\hat f$, y la vamos a hacer si nos muestran que $f(t)=O(e^{-|t|})$. Pero, asumiendo $2\pi=1$, Cauchy Teorema muestra que $$f(t)=\int F_0(x)e^{ixt}\,dx =\int F_1(t)e^{i(x+i)t}\,dx=e^{-t}\int F_1(x)e^{ixt}\,dx,$$hence $f(t)=O(e^{-t})$. Similarly $f(t)=O(e^t)$.