¿Son los productos de esferas$\prod_i\Bbb S^{n_i}$ diferentes?

Question

Si $(n_i)_{i\leq k}$ e $(n_i^\prime)_{i\leq k^\prime}$ están aumentando (no necesariamente estrictamente) secuencias de cero enteros, tenemos el siguiente?

$$\prod_{i\leq k}\Bbb S^{n_i}\simeq \prod_{i\leq k^\prime}\Bbb S^{n_i}\iff (n_i)_{i\leq k}=(n_i^\prime)_{i\leq k^\prime}$$

Aquí estoy siendo un poco salario sobre "$\simeq$". Esto es debido a que estoy interesado en dos aspectos de este problema.

• El primer aspecto que me interesa (que ha sido contestada):

Es conocido para ser verdad si "$\simeq$" denota homotopy equivalencia? Si no, este es conocido por ser verdadera si "$\simeq$" denota homeomórficos espacios?

Yo no sé realmente por el aumento de la homotopy grupos y haces de fibras que supongo que podría ser herramientas poderosas para resolver esto, pero siéntase libre de utilizar cualquiera de estas herramientas, no me importa tener que hacer un poco de investigación sobre estos temas. No estoy realmente en busca de una prueba plena, esto es más para la cultura (una referencia para hacer el trabajo).

• El segundo aspecto que me interesa (que no ha sido contestada):

Es conocido para ser verdad si "$\simeq$" denota diffeomorphic suave colectores, con canónica de estructuras en las esferas?

Para este último significado de $\simeq$, estoy más interesado en la búsqueda de invariantes de la geometría diferencial a resolver esto en casos especiales (dimensión fija, por ejemplo).

Algunas condiciones necesarias: Si $\prod_{i\leq k}\Bbb S^{n_i}$ e $\prod_{i\leq k^\prime}\Bbb S^{n_i}$ son diffeomorphic colectores, a continuación, sus dimensiones son iguales: $$\sum_{i\leq k}n_i=\sum_{i\leq k^\prime}n_i^\prime$$ También el uso de grupo fundamental de la que hemos $$\left\lbrace i\leq k~\vert~n_i=1\right\rbrace=\left\lbrace i\leq k^\prime~\vert~n_i^\prime=1\right\rbrace.$$

Un ejemplo de lo que estoy interesado en el buen caso: Las dos condiciones anteriores puede ayudar a resolver el problema cuando la dimensión es $4$. En este caso tenemos a$5$ espacios: $$\Bbb S^4,\quad\Bbb S^2\times \Bbb S^2,\quad\Bbb S^1\times\Bbb S^3,\quad\Bbb S^1\times \Bbb S^1\times \Bbb S^2,\quad\Bbb S^1\times \Bbb S^1\times\Bbb S^1\times \Bbb S^1.$$

Aquí fundamental nos dice que la última $3$ espacios son diferentes de los otros $4$, e $\pi_2(\Bbb S^4)\approx\Bbb Z$ pero $\pi_2(\Bbb S^2\times \Bbb S^2)\approx \pi_2(\Bbb S^2)\times \pi_2(\Bbb S^2)\approx \Bbb Z_2\times \Bbb Z_2$ , así que el espacio son diferentes. Pero esta respuesta no me satisface mucho. Lo que me parece muy bonito es, por ejemplo, para demostrar que $\Bbb S^2\times \Bbb S^2$ e $\Bbb S^1\times\Bbb S^3$ no diffeomorphic utilizando el paralelismo como se ha hecho aquí. Es hay otros ejemplos similares para distinguir productos de las esferas? Una cosa que he pensado es la mínima dimensión en la que podemos incrustar el producto de las esferas en el espacio euclidiano, pero estoy bastante seguro de que este será un fracaso (ver aquí). Quizás podamos cambiar "espacio euclidiano" con algo más?..

Déjeme saber si la pregunta es demasiado vago y voy a intentar modificarlo. Gracias de antemano!

Answer 1

Sí, sí y sí. Usted puede utilizar cohomology y Künneth fórmula para verlo. El polinomio $p = \prod_{i=1}^k (1 + t^{n_i})$ es un invariante del espacio $\prod_i^k S^{n_i}$ (ver explicación después) y es claro que uno puede lee el $n_i$ hasta permutación de $p$.

Más precisamente, este polinomio es el de Poincaré polinomio definido como $p_X(t) = \sum b_it^i$ donde $b_i = \dim H^i(X, \Bbb Q)$ es el $i$-ésimo número de Betti. Künneth fórmula le dice que $p_X(t)p_Y(t) = p_{X \times Y}(t)$.