Su método cuenta cada surjective función que se asigna a tres elementos de la $Y$ a un elemento de $X$ tres veces, una para cada forma de designar a uno de esos tres elementos, como el elemento de $Y$ que se asigna a ese elemento de $X$.
Por ejemplo, considere la surjective función de $f: Y \to X$ definido por $f(1) = 1$, $f(2) = 2$, $f(3) = 3$, $f(4) = 4$, $f(5) = f(6) = f(7) = 5$. Usted contar con esta función tres veces:
\begin{array}{c | c}
\text{designated ordered pairs} & \text{additional ordered pairs}\\ \hline
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) & (6, 5), (7, 5)\\
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (6, 5) & (5, 5), (7, 5)\\
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (7, 5) & (5, 5), (6, 5)\\
\end{array}
donde hemos escrito $(y, x)$ si $f(y) = x$.
Que cuente cada surjective función que se asigna a dos elementos de la $Y$ a un elemento de $X$ y otros dos elementos de $Y$ a un elemento diferente de $X$ cuatro veces, dos veces para cada par de elementos de a$Y$ que se asignan a un único elemento de $X$.
Por ejemplo, considere la surjective función de $f: Y \to X$ definido por $f(1) = 1$, $f(2) = 2$, $f(3) = 3$, $f(4) = f(6) = 4$, $f(5) = f(7) = 7$. Usted contar con esta función de cuatro tiempos:
\begin{array}{c | c}
\text{designated ordered pairs} & \text{additional ordered pairs}\\ \hline
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) & (6, 4), (7, 5)\\
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (6, 4), (5, 5) & (4, 4), (7, 5)\\
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (7, 5) & (6, 4), (5, 5)\\
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (6, 4), (7, 5) & (4, 4), (5, 5)\\
\end{array}
Vamos a corregir su cuenta.
Surjective funciones en las que exactamente tres elementos de $Y$ mapa a un solo elemento de $X$: Elegir el que tres de los siete elementos de la $Y$ mapa a un solo elemento de $X$. Elija este elemento de la $X$. Ya que la función es surjective, el resto de los cuatro elementos se debe asignar a elementos distintos del resto de los cuatro elementos de la $X$. El número de tales funciones es
$$\binom{7}{3}\binom{5}{1}4!$$
Surjective funciones en las que exactamente dos elementos de la $Y$ mapa a un solo elemento de $X$ y exactamente a otros dos elementos de $Y$ mapa a un elemento diferente de $X$: Elija la que dos de los cinco elementos de la $X$ son cada una de las imágenes de los dos elementos de la $Y$. Elija el que dos de los siete elementos de la $Y$ mapa al más pequeño de estos elementos de $X$. Elija el que dos de los cinco restantes elementos de $Y$ mapa más grande de estos elementos de $X$. Ya que la función es surjective, los tres restantes elementos de $Y$ se debe asignar a los distintos elementos de los tres restantes elementos de $X$. El número de tales funciones es
$$\binom{5}{2}\binom{7}{2}\binom{5}{2}3!$$
Total: Puesto que los dos casos anteriores son mutuamente excluyentes y exhaustivos, el número de surjective funciones de $Y$ a $X$ es
$$\binom{7}{3}\binom{5}{1}4! + \binom{5}{2}\binom{7}{2}\binom{5}{2}3!$$
