Cómo probar que $A^2$ es una matriz simétrica

Question

Conjetura 1 :

Deje $A$ ser una verdadera matriz tal que $A^5=A A^T A A^T A$. A continuación, $A^2$ es una matriz simétrica.

(aquí se $A^T$ denota la transpuesta de una matriz A).

Supongo que el siguiente también es cierto :

Conjetura 2 :

Si $A^{2n+1}=AA^TAA^T\cdots AA^TA$ $A^n $ es simétrica.

PS: Esta segunda conjetura ha demostrado ser falsa al $A$ es invertible, véase Robert de Israel en respuesta a continuación. Pero aun así pienso que es verdad cuando $A$ no es invertible.

El post si matriz, $AA^T=A^2$ $A$ es simétrica? resuelve el $n=1$ de los casos.

Answer 1

La respuesta a la segunda pregunta no es si $n > 2$. $A$ podría ser una matriz ortogonal (por lo $A A^T = A^T A = I$)$A^{2n} = I$, por ejemplo, una rotación por $\pi/n$ $$ \pmatrix{\cos(\pi/n) & \sin(\pi/n)\cr -\sin(\pi/n) & \cos(\pi/n)\cr} $$

Answer 2

(Demasiado largo para un comentario.) Robert Israel ha dado un contraejemplo a su conjetura para cada una de las $n>2$. Sin embargo, su conjetura es verdadera cuando $n=2$ $A$ es invertible. En este caso, la condición de $A^5=A A^T A A^T A$ reduce a $AAA=A^T A A^T$ y a su vez $A^TA^TA^T=AA^TA$, por lo que fácilmente se puede comprobar que $$ (A-A^T)^2A = - ^T(A-A^T)^2. $$ Es decir, si denotamos por a $K=\frac12(A-A^T)$ la inclinación simétrica parte de $A$, $K^2A$ es sesgar simétrica. Por ortogonal de cambio de base, podemos suponer que la $K$ es en su real Jordan en la forma, es decir, $K$ es una suma directa de algunos distinto de cero real múltiplos de 2 x 2 matriz de rotación de ángulo de $\pi/2$ y un cero bloque.

Usando la condición de que $K^2A$ es sesgar simétrica, se puede probar que $A$ es en realidad un bloque diagonal de la matriz con la misma estructura de bloque como $K$. Además, cada uno de sus 2x2 subbloques son idénticos a los correspondientes subblock en $K$, y la diagonal subblock de $A$ correspondiente a los cero bloque de $K$ es simétrica. En otras palabras, $A$ es ortogonalmente similar a la suma directa de algunos de 2x2 sesgar matrices simétricas y una matriz simétrica. Por lo tanto $A^2$ es simétrica.

Por desgracia, no veo cómo la anterior approprach puede ser extendido para incluir, en el caso de noninvertible $A$.

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Edit. Usando la idea de loup blanc respuesta, ahora podemos probar la declaración de noninvertible $A$.

La igualdad de $A^5=AA^TAA^TA$ es invariante bajo una ortogonal de cambio de base. Por lo tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $$ A=\pmatrix{X&Y\\ 0&0}, $$ donde la submatriz $(X,Y)$ total fila del rango. La igualdad de $A^5=AA^TAA^TA$ da $A^5A^T=(AA^T)^3$, es decir, $$ X^4(XX^T+YY^T) = (XX^T+YY^T)^3.\la etiqueta{1} $$ Como $(X,Y)$ tiene una fila completa de rango, $XX^T+YY^T$ es positiva definida. Por lo tanto $(1)$ implica que el $X$ es invertible y $\det(X^4)=\det[(XX^T+YY^T)^2]$. Por lo tanto, $Y$ debe ser cero y $(1)$ da $X^5=XX^TXX^TX$. Así, por nuestro resultado anterior para invertir matrices, $X^2$ es simétrica. En consecuencia, $A^2$ es simétrica.

Answer 3

Suponga que $A\in M_3(\mathbb{R})$. Ya que los casos al $rank(A)=1,3$ se resuelven, suponga que $rank(A)=2$.

Prop. Bajo la hipótesis anterior, $A^5=AA^TAA^TA$ implica que el $A^2$ es simétrica.

Prueba. Deje $A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{pmatrix}$. Podemos suponer que la $AA^T=diag(u,v,0)$ donde $u,v>0$. Claramente $g=h=k=0$$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bd&b(a+e)&ac+bf\\d(a+e)&bd+e^2&cd+ef\\0&0&0\end{pmatrix}$.

Desde $A$ está definido hasta un factor real, podemos suponer que $u=1$ y, finalmente, se estudia el sistema de $AA^T=diag(1,v,0)$, $A^5=\begin{pmatrix}a&b&c\\v^2d&v^2e&v^2f\\0&0&0\end{pmatrix}$. Utilizamos las bases de Grobner software de Arce ; de aquí la dificultad es que hay una infinidad de soluciones a través de $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}$ y, en consecuencia, debemos trabajar también con la mano !

Obtenemos $ad+be+cf=0$$d(v^2-1)=b(v^2-1)=cf(v^2-1)=0$.

Caso 1. $v=1$. A continuación,$a^2+b^2+c^2=d^2+e^2+f^2=1$$(c^2+f^2)(c^2+f^2-2)=0$.

Caso 1.1. $c^2+f^2=2$. Entonces $c=\pm 1,f=\pm 1$, $a=b=d=e=0$ que es contradictorio porque $ad+be+cf\not=0$.

Caso 1.2. $c^2+f^2=0$. A continuación, $A^2$ es simétrica.

Caso 2. $v\not=1$ $d=b=cf=0$ . Obtenemos $c^2(c^2-2)=0,a^2+c^2=1$ que implica la $c=0,a^2=1$.

Caso 2.1. $f=0$. a continuación, $A^2$ es simétrica.

Caso 2.2. $f\not=0$. A continuación,$2e^2+f^2=0$, lo que es contradictorio.

Answer 4

Suponiendo que a es cuadrada y invertible. $$A^5 = AA^{\top}AA^{\top}A$$ $$A^4 = AA^{\top}AA^{\top}$$ $$A^{\top}A^{4} = A^{\top}AA^{\top}AA^{\top} = (AA^{\top}AA^{\top}A)^{\top}$$ $$A^{\top}A^4 = A^{5\top}$$ $$A^{4\top}A = A^5$$ $$A^{4\top} = A^4$$