Prueba de que$ \frac{3\pi}{8}< \int_{0}^{\pi/2} \cos{\sin{x}} dx < \frac{49\pi}{128}$

Question

La prueba de que $$ \frac{3\pi}{8} < \int_{0}^{\pi/2} \cos\left(\sin\left(x\right)\right)\,\mathrm{d}x < \frac{49\pi}{128} $$

Puede alguien darme algunas instrucciones de cómo lidiar con la desigualdad como que? Mi idea es:

Veo a $\frac{3\pi}{8}$ a la izquierda. Así que creo que puedo demostrar que $$ \frac{3}{4}<\cos{\sin{x}} $$ Y después de tomar la integral: $$ \frac{3x}{4} \rightarrow \frac{3}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{8} $$ Pero no es cierto porque $$ \cos{\sin{x}} \geqslant \cos{1} \approx 0.5403 < 3/4$$ Qué debo hacer en esta situación?

Answer 1

Sugerencia para una parte, el uso de esta desigualdad y esta uno $$\cos{x} \geq 1 - \frac{x^2}{2}$$ nos han $$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{\sin{x}} dx > \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(1-\frac{\sin^2{x}}{2}\right)dx=\frac{3 \pi}{8}$$

Answer 2

Seguimiento a @rtybase:

$$ \ cos x \ le 1- \ frac {x ^ 2} 2+ \ frac {x ^ 4} {24} \ implica \ int_0 ^ {\ pi / 2} \ cos \ sin xdx <\ int_0 ^ {\ pi / 2} \ left (1- \ frac {\ sin ^ 2 x} 2+ \ frac {\ sin ^ 4 x} {24} \ right) dx = \ frac {49 \ pi} {128}. $$