Desde $\|g\|_2 =1$ a $\|g\|_\infty^2 \ge \dim V$ en un subespacio de $C[0,1]$

Question

Dejemos que $V$ sea un subespacio de dimensión finita de $C[0,1]$ . Demostrar que existe $g \in V$ tal que $\|g\|_2 =1$ , $\|g\|_\infty^2 \ge \dim V$

En este problema utilizamos la notación $$\|f\|_2 = \left(\int_0^1 f^2\right)^{1/2}$$ $$\|f\|_\infty = \max_{[0,1]} f$$

Mi intento

Para la situación n-dimensional. Supongamos que $f_i=\chi_{[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}]}$ son las funciones características de los intervalos.

Entonces la condición es equivalente a la de $f=\sum_{i=1}^n \lambda_i f_i$ $$\sum_{i=1}^n \lambda_i^2 = n^2$$

Así, $$\|f\|_\infty^2 = \max \lambda_i^2 \geqslant n$$ La desigualdad se mantiene.

Pero me he atascado en el análisis de la situación general. ¿Podríais darme algunas pistas? Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí hay una respuesta. La idea central es encontrar una base ortogonal para reducir la complejidad.

Prueba

Elegir la base ortogonal $f_1,f_2,\cdots,f_n$ tal que $$ \int_0^1f_if_j=\delta_{ij} \quad \forall\, 1\le i \le j\le n $$ Así, para $f=\sum_{i=1}^n \lambda_i f_i$ $$ \int_0^1 f^2 = \int_0^1 \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 f_i^2 = \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 $$ lo que implica que $$ \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 = 1 \tag{1} $$

Además, como $$ \int_0^1 \sum_{i=1}^n f_i^2 = n $$ podemos elegir $x_0 \in [0,1]$ tal que $$ \sum_{i=1}^n f_i^2(x_0) \ge n \tag{2} $$

Tenga en cuenta que $$ \left(\sum_{i=1}^n \lambda_i f_i(x_0)\right)^2 = \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 \cdot \sum_{i=1}^n f_i^2(x_0) $$ se mantiene si elegimos un $\lambda_i $ .

Entonces, a través de $(1)$ y $(2)$ llegamos a la conclusión.