Dejemos que $V$ sea un subespacio de dimensión finita de $C[0,1]$ . Demostrar que existe $g \in V$ tal que $\|g\|_2 =1$ , $\|g\|_\infty^2 \ge \dim V$
En este problema utilizamos la notación $$\|f\|_2 = \left(\int_0^1 f^2\right)^{1/2}$$ $$\|f\|_\infty = \max_{[0,1]} f$$
Mi intento
Para la situación n-dimensional. Supongamos que $f_i=\chi_{[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}]}$ son las funciones características de los intervalos.
Entonces la condición es equivalente a la de $f=\sum_{i=1}^n \lambda_i f_i$ $$\sum_{i=1}^n \lambda_i^2 = n^2$$
Así, $$\|f\|_\infty^2 = \max \lambda_i^2 \geqslant n$$ La desigualdad se mantiene.
Pero me he atascado en el análisis de la situación general. ¿Podríais darme algunas pistas? Gracias de antemano.