¿Por qué el enfoque 'lagrangiano métrico' parece fallar en la mecánica newtoniana?

Question

Un conocido derivación del espacio libre de Lagrange en la Relatividad Especial es el siguiente:

• La acción $\mathcal{S}$ es un funcional de la ruta tomada a través de el espacio de configuración, $\mathbf{q}(\lambda)$, donde $\lambda$ es el el parámetro de la ruta

• La acción puede ser pensado como el total de "coste" de esta ruta a través de la configuración del espacio. El camino que se ha elegido es la 'más barato' de estas rutas (es decir, el que minimiza la acción)

• Válido física "puede ser recuperada de la correcta asignación de cada punto a lo largo de la trayectoria de un "costo", para ello invocamos una función llamada el Lagrangiano, $\mathcal{L}$, tal que:

$$\mathcal{S}[\mathbf{q}] = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \mathcal{L}(\mathbf{q}(\lambda), \dot{\mathbf{q}}(\lambda), \lambda) \mathrm d \lambda \tag{1}$$

• El extremal $\mathcal{S}$ al $\mathcal{L}$ satisface de Euler-Lagrange las ecuaciones.

• En el espacio libre (que se supone ser homogénea e isotrópica), el "coste" de cada punto a lo largo de la ruta no puede ser determinado por la posición a lo largo de la ruta, o la posición en el espacio de configuración, ya que esto violaría nuestro espacio libre de supuestos.

• El único factor determinante que puede influir en el costo total de cada punto en el espacio es la infinitesimal de longitud de la trayectoria en cada punto, hasta una constante dimensional $\alpha$. Por lo tanto: $$ \mathcal{S}[\mathbf{q}] = \alpha \int_\mathbf{q} \mathrm d s \tag{2}$$

• El uso de $\mathrm d s^2 = \mathrm d t^2 - \mathrm d \mathbf{x}^2 $, esto nos da: $$ \mathcal{S}[\mathbf{q}] = \alpha\int \sqrt{1 - \dot{x}^2} \mathrm d t\tag{3}$$
• Elegimos $\alpha = - m c^2$ como el más sencillo invariante de la cantidad que tiene las dimensiones correctas. Por lo tanto, si nuestro camino es el parámetro de la coordinación del tiempo $t$, tenemos: $$ \mathcal{L} = - m c^2 \sqrt{1 - \dot{x}^2} \tag{4}$$

Esta prueba se encuentra en muchas fuentes diferentes (probablemente el más notable en Landau-Lifshitz, Volumen 2, Capítulo 2). Esta idea se generaliza en la Relatividad General, donde el espacio libre de Lagrange es: $$ \mathcal{L} \propto \sqrt{g_{\mu \nu} \dot{x}_\mu \dot{x}_\nu} \tag{5}$$ Sin embargo. Si tratamos de insertar el Newtoniano Euclidiana 3-métrica, parece que no obtenemos el resultado esperado: $\mathcal{L} = \frac{1}{2} m v^2 $. Si insertamos la métrica Euclidiana en el Landau-Lifshitz definición general, podemos encontrar: $$ \mathcal{L} \propto |\mathbf{v}| \tag{6}$$ Las ecuaciones de movimiento predicho por la normal de Lagrange son una declaración de Newton me axioma ($p = $ const en el espacio libre), pero el resultado de este Lagrangiano es: $$ \text{sgn}(v_i) = \text{const} \tag{7}$$ Esto no es malo, pero claramente no contiene toda la información que esperar el Lagrangiano para contener!

¿Por qué este enfoque (que tiene un éxito rotundo en el relativstic caso!) fallar tan mal cuando se aplica a la (supuestamente más simples) Newtoniano caso? Sé que bajo ciertas circunstancias, podemos plaza de la Lagrangiana y retener a las mismas ecuaciones de movimiento, pero los pruebas todos los invocado afín parámetros, etc., que parece excesivo para una mecánica Newtoniana problema.

Me estoy perdiendo algo que es obvio? Parece que no debe ser trivial para recuperar la mecánica clásica de este método, cuando es tan "fácil" de conseguir relativstic mecánica de....

Answer 1

El problema con su enfoque es que su propuesta de acción $$S = \int |\mathbf{v}| \, dt$$ no es invariante. Mientras Landau de la acción es invariante bajo transformaciones de Lorentz, y, de hecho, completamente de coordenadas independientes, lo tuyo no es invariante bajo transformaciones de Galileo, que agrega una constante a $\mathbf{v}$. El espacio-sólo analógica de una transformación de Lorentz no es una transformación de Galileo, es una rotación. Su resultado es invariante bajo rotaciones, pero no es suficiente.

Tomando el nonrelativistic límite no es tan simple como olvidar el componente de tiempo. Parametrización un tiempo, el Lagrangiano relativista también puede ser escrito como $$\mathcal{L} = \sqrt{\dot{t}^2 - \dot{\mathbf{x}}^2} = \sqrt{1 - \mathbf{v}^2}.$$ Podemos llegar a su respuesta "deshacerse de la una", pero esa no es la manera correcta de tomar el límite. En lugar de la que uno se vuelve más importante, y tenemos que mantenerlo y Taylor ampliar acerca de él, dando $$\mathcal{L} \approx 1 - \frac{\mathbf{v}^2}{2}$$ que recupera la costumbre nonrelativistic acción. El argumento de por qué tenemos que square $\mathbf{v}$ se da también en el volumen 1 de Landau y Lifshitz. Quizás una manera más sencilla de decir esto es que la física de Galileo no es simplemente la relatividad con la dimensión de tiempo retirado.

Answer 2

1. Un no-relativista de la raíz cuadrada de Lagrange (6), tiene un problema con null-los vectores de velocidad. No es diferenciable en velocidad cero, que es no físico desde la perspectiva de la mecánica Newtoniana, cf. esta relacionado con Phys.SE post.

2. Debemos señalar que el relativista de la raíz cuadrada de Lagrange (5) tiene una similar defecto con null/lightlike vectores. Es aplicable sólo a timelike vectores correspondientes a la masiva punto de partículas, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.