Demostrar que .

Question

Deje que $f: [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ sea diferenciable, $f' > 0$ . Demuestre que $$\forall \epsilon > 0: \lim_{t\to\infty}\dfrac{1}{t^2}\int_{0}^{t}\dfrac{\left(f(x)\right)^{1+\epsilon}}{f'(x)}\mathrm dx =+\infty$ $

Usé la regla de L'Hôpital y obtuve $$\lim\limits_{t\to\infty}\dfrac{1}{t^2}\int_{0}^{t}\dfrac{\left(f(x)\right)^{1+\epsilon}}{f'(x)}\mathrm dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{t\to\infty}\dfrac{\left(f(t)\right)^{1+\epsilon}}{tf'(t)}$ $ Si existe $\lim\limits_{t\to\infty}f'(t)$ , entonces podemos probar la afirmación anterior utilizando la regla de L'Hôpital. Pero si $\lim\limits_{t\to\infty}f'(t)$ no existe, no sé cómo proceder

Answer 1

Solución parcial. Es fácil ver que $ f $ tiene una inversa $ g $. Vamos a resolver el problema con la hipótesis de que la $ g $ es una función polinómica.

Por el teorema de la función inversa, ya que $f^\prime(x)> 0$ para todos los $ x \in [0, \infty) $ entonces $f:[0,\infty)\to [f(0),\infty)$ tiene una inversa global $g:[f(0),\infty)\to [0,\infty)$. Aviso de que se considere la posibilidad de $ f^\prime(0) $ como es derivable en a la derecha de cero. Además tenemos las igualdades $$ \begin{matrix} g(f(x))=x \quad & \quad f(g(y))=y \quad & \quad g(y)=x \quad & \quad f(x)=y\\ \\ g^\prime(y)=\frac{1}{f^\prime (x)} \quad & \quad g^\prime(y)=\frac{1}{f^\prime (g(y))} \quad & \quad g(s)=t \quad & \quad f(t)=s \end{de la matriz} $$ Por la fórmula de cambio de variables que hemos \begin{align} \int_0^{t} \big( f(x) \big)^{1+\epsilon}\frac{1}{f^\prime(x)} \mathrm{d}x =& \int_{g(f(0))}^{g(s)} \big( f(x) \big)^{1+\epsilon}\frac{1}{f^\prime(x)} \mathrm{d}x, \\ =& \int_{f(0)}^{s} \big( f(g(y)) \big)^{1+\epsilon}\frac{1}{f^\prime(g(y))}g^\prime(y) \mathrm{d}y, \\ =& \int_{f(0)}^{s} \big( y \big)^{1+\epsilon}\cdot g^{\prime}(y)\cdot g^{\prime}(y)\mathrm{d}y, \end{align} Ahora, de verificación para cada función polinómica $ g(y)=a_ny^n+\ldots+a_1 y+a_0$que $$ \Phi_g(s)= \frac{1}{g(s)^2}\int_{f(0)}^{s} \big( y \big)^{1+\epsilon}\cdot g^{\prime}(y)\cdot g^{\prime}(y)\mathrm{d}y, = \frac{1}{t^2}\int_0^{t} \big( f(x) \big)^{1+\epsilon}\frac{1}{f^\prime(x)} \mathrm{d}x $$ es una función tal que $\lim_{s\to\infty}\Phi_{g}(s)=\infty$.