Hay un nombre para la matriz producto con invertida índices?

Question

La típica de la matriz producto es como sigue: $$ (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj}\,. $$

Hay un nombre o caracterización de uno de estos como $$(\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ki}B_{jk}\,? $$ Además, ¿qué puede decirse acerca de la matriz de vectores producto $$ (\mathbf{A}\mathbf{b})_{i} = \sum_{k=1}^m A_{ki}b_{k}\,? $$ Es allí cualquier manera de expresar la anterior matriz-vector producto en términos de la tradicional álgebra lineal?

Answer 1

La segunda fórmula es sólo $A^tB^t$ y en la tercera una $A^tb$, donde el $(\hskip1ex)^t$ significa transpuesto

Answer 2

No hay mucho nuevo, por desgracia, si usted sabe cuál es la transpuesta de la matriz.

Dada una matriz $\mathbf{A} = (A)_{ij}$ la transpuesta de una matriz $\mathbf{A}^{\intercal}$ está definido por $\mathbf{A}^{\intercal} = (A)_{ji}$. Intuitivamente la transpuesta de una matriz se encuentra por la reflexión de la matriz a través de la línea a través de la diagonal de coeficientes de $i = j$. Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Transpose.

Con esto en mente su primera versión alternativa de la multiplicación puede ser escrito como $\sum_{k=1}^m A_{ki}B_{jk} = \mathbf{A}^\intercal\mathbf{B}^\intercal $.

Answer 3

$$ \sum_{k=1}^n A_{ki} B_{jk} = \sum_{k=1}^n B_{jk} A_{ki} = (BA)_{ji} = (AB)^\intercal = A^\intercal B^\intercal $$ y $$ \sum_{k=1}^m A_{ki}b_{k} = \sum_{k=1}^m A_{ik}^{\intercal} b_{k} = A^{\intercal} b $$