Producto tensorial de dos módulos cotizados

Question

Tengo una pregunta del "Ejercicio 1.3, Capítulo 1, Qing Liu, Geometría algebraica y curvas aritméticas ":

Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo con unidad. Sea $M,N$ ser dos $A-$ módulos, y $i:M' \to M, j:N' \to N$ submódulos de $M$ y $N$ respectivamente. Entonces existe un isomorfismo canónico $$\left( M/M' \right) \otimes_A \left( N/N' \right) \simeq \left( M \otimes_A N \right)/\left( \text{Im } i_N + \text{Im } j_M\right).$$

Notación : Dejemos que $f:N' \to N$ sea un mapa lineal de $A-$ módulos. Para cualquier $A-$ módulo $M$ denotamos el mapa lineal $f \otimes_A \text{Id}_M : N' \otimes_A M \to N \otimes_A M$ por $f_M$ .

Mi intento :
Utilizando el resultado

Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo con unidad. Sea $M,N$ ser dos $A-$ módulos, y $i:M' \to M$ submódulos de $M$ . Entonces existe un isomorfismo canónico $$\left( M \otimes_A N \right)/\left( \text{Im } i_N \right) \simeq \left( M/M' \right)\otimes_A N,$$

obtenemos que \begin {align*} \left ("M/M") \right ) \otimes_A \left ( N/N' \right ) & \simeq \left (N \otimes_A \left (M/M' \right ) \right )/ \left ( \text {Im } j_{M/M'} \right ) \\ & \simeq \left ( \left (N \otimes_A M \right )/ \text {Im } i_N \right )/ \left ( \text {Im } j_{M/M'} \right ). \end {align*} Sin embargo, tengo un problema cuando trato de probar $$\left(\left(N\otimes_A M\right)/\text{Im } i_N\right)/\left(\text{Im } j_{M/M'}\right) \simeq \left( M \otimes_A N \right)/\left( \text{Im } i_N + \text{Im } j_M\right).$$ ¿Pueden ayudarme con este problema? Muchas gracias.

Answer 1

Una forma es demostrar que $M \otimes N$ modulo el submódulo $P$ generado por $m' \otimes n$ y $m \otimes n'$ (con $m' \in M', m \in M, n' \in N', n \in N$ ) satisface directamente la misma propiedad universal que $M/M' \otimes N/N'$ .

Usted tiene una visión bien definida $A$ -mapa bilineal $j: M/M' \times N/N' \rightarrow (M \otimes N)/P$ dado por

$$(m+M',n+N') \mapsto m \otimes n + P$$

Supongamos que $Q$ es un $A$ -y $f: M/M' \times N/N' \rightarrow Q$ es $A$ -bilineal. Afirmo que existe un único $A$ -homomorfismo de módulo $\phi: (M\otimes N)/P \rightarrow Q$ tal que $\phi \circ j = f$ . La unicidad del producto tensorial le garantizará entonces un isomorfismo $M/M' \otimes N/N' \rightarrow (M \otimes N)/P$ tal que $(m +M') \otimes (n+N') \mapsto m \otimes n + P$ .

El mapa $M \times N \rightarrow Q, (m,n) \mapsto f(m + M',n + N')$ es ciertamente $A$ -bilineal, por lo que existe un único $A$ -mapa lineal $\psi: M \otimes N \rightarrow Q$ dado en los generadores por $\psi(m\otimes n) = f(m+M',n+N')$ . Además, para cualquier $m' \in M', n' \in N$ tienes

$$\psi(m' \otimes n) = f(m' + M',n + N') = f(0 + M', n+ N') = 0$$

$$\psi(m \otimes n') = f(m + M', n' + N') = f(m+M',0+N') = 0$$

así que $P$ está contenida en el núcleo de $\psi$ . Por lo tanto, el $A$ -homomorfismo de módulo $\phi: (M \otimes N)/P \rightarrow Q$ definido por $\phi(x + P) = \psi(x)$ está bien definida.

Ahora $\phi$ hace lo que se requiere:

$$\phi \circ j(m+M',n+N') = \phi(m\otimes n + P) = \psi(m \otimes n) = j(m+M',n+N')$$

y la singularidad de $\phi$ es fácil de ver por la singularidad de $\psi$ .