Continuidad de una función muy familiar.

Question

Dejemos que $f:\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}$ sea continua y que $g:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right]$ sea también una función continua. ¿Es continua la siguiente función? \begin{eqnarray*} h:\left[0,1\right] & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \rightarrow & \sup_{g\left(x\right)\leq t\leq1}f\left(t,x\right) \end{eqnarray*}

Gracias.

Answer 1

Definir $\phi(x,s) = f(g(x)+s(1-g(x)), x)$ entonces $h(x) = \max_{t \in [0,1]} \phi(x,t)$ .

Supongamos que $x_n \to x$ entonces $\phi(x_n,t) \to \phi(x,t)$ para todos $t$ y como $h(x_n)\ge \phi(x_n,t)$ vemos $\liminf_n h(x_n) \ge \phi(x,t)$ para todos $t$ y así que $\liminf_n h(x_n) \ge h(x)$ .

Dejemos que $t_n$ sea tal que $h(x_n) = \phi(x_n,t_n)$ , entonces dejemos que $x_{n_k}, t_{n_k}$ sea tal que $\phi(x_{n_k}, t_{n_k}) \to \limsup_n h(x_n)$ y $ t_{n_k} \to t^*$ entonces $\phi(x_{n_k}, t_{n_k}) \to \phi(x,t^*) \le h(x)$ y así que $\limsup_n h(x_n) \le h(x)$ .

Por lo tanto, $\lim_n h(x_n) = h(x)$ y así $h$ es continua.

Answer 2

Tenga en cuenta que $f$ y $g$ son uniformemente continuas. Sea la métrica $d$ en $[0,1]\times[0,1]$ sea $d((a,b),(x,y))=|x-a|+|y-b|$ . Esto es equivalente a la métrica habitual. Fijar $\varepsilon>0$ y elegir $\delta_1,\delta_2>0$ tan pequeño que si $|a-b|<\delta_1$ entonces $|g(a)-g(b)|<\dfrac{\delta_2}{2}$ donde si $d((a,b),(x,y))<\delta_2$ entonces $|f(a,b)-f(x,y)|<\varepsilon$ . Sea $x_0\in[0,1]$ y $\delta=\dfrac{1}{2}\min\{\delta_1,\delta_2\}$ .

Si $|x-x_0|<\delta$ entonces $|h(x)-h(x_0)|=\left|\sup_{g(x)\le t\le 1}f(t,x)-\sup_{g(x_0)\le t\le 1}f(t,x_0)\right|$ . Los sups se consiguen por compactación, por lo que podemos dejar $f(a,x)=\sup_{g(x)\le t\le 1}f(t,x)$ y $f(b,x_0)=\sup_{g(x_0)\le t\le 1}f(t,x_0)$ . Tenga en cuenta que $|f(g(x),x)-f(g(x_0),x_0)|<\varepsilon$ ya que nos inventamos que $|g(x)-g(x_0)|+|x-x_0|<\delta_2$ .

Supongamos primero que $a$ y $b$ no se encuentran entre $g(x)$ y $g(x_0)$ . Entonces $f(a,x)<f(a,x_0)+\varepsilon\le f(b,x_0)+\varepsilon$ y $f(b,x_0)<f(b,x)+\varepsilon\le f(a,x)+\varepsilon$ . Por lo tanto, $|f(a,x)-f(b,x_0)|<\varepsilon$ .

Ahora supongamos que WLOG que $b$ está entre $g(x)$ y $g(x_0)$ (el caso de $a$ es idéntico). Tenemos que $|f(a,x)-f(a,x_0)|<\varepsilon$ y $|f(g(x),x)-f(b,x_0)|<\varepsilon$ . Por lo tanto, $f(a,x)<\varepsilon+f(a,x_0)\le \varepsilon+f(b,x_0)$ y $f(b,x_0)<\varepsilon +f(g(x),x)\le \varepsilon +f(a,x)\ldotp$ Por lo tanto, $|f(a,x)-f(b,x_0)|<\varepsilon$ .

Por lo tanto, $h$ es continua.