Problema de ecuación diferencial

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente ecuación diferencial:

PS

Si hacemos la sustitución$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2(2x+y)^2$, entonces obtenemos:$z=2x+y$$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=2+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2+2z^{2}$$

This is a separable ODE, and so we get

$$\frac{\mathrm{d}z}{2+2z^{2}}=\mathrm{d}x \implies \int\frac{\mathrm{d}z}{2+2z^{2}}=\int\mathrm{d}x \implies \frac{1}{2}\tan^{-1}(z)=x+C$$

Rearranging we get:

$$z=\tan(2x+C) \implies y=\tan(2x+C)-2x$$

However plugging the ODE into Mathematica gives:

$ PS

¿Y no veo ninguna manera de conciliar estos dos resultados? ¿He hecho la suposición de que no soy consciente en algún momento de mi solución, o he hecho algo completamente incorrecto?

PS: Código para Mathematica:

 FullSimplify[DSolve[y'[x] == 2 (2 x + y[x])^2, y[x], x]]
 

Answer 1

Mathematica usa el logaritmo complejo para anotar la solución: $$ \ tan ^ {- 1} z = \ frac i2 \ log \ left (\ frac {1-iz} {1 + iz} \ right). $$ Si juegas un poco con la solución Mathematica, encontrarás exactamente tu propia respuesta.

Answer 2

\begin{align} y(x)&=\frac{2}{4Ce^{4ix}-i}-2x-i\\ &=\frac{2e^{-2ix}}{4Ce^{2ix}-ie^{-2ix}}-i-2x\\ &=\frac{2e^{-2ix}-4Cie^{2ix}-e^{-2ix}}{4Ce^{2ix}-ie^{-2ix}}-2x\\ &=\frac{e^{-2ix}-4Cie^{2ix}}{4Ce^{2ix}-ie^{-2ix}}-2x \end {align} Ahora, \begin{align} \tan(2x+K) &= \frac{\sin(2x+K)}{\cos(2x+K)}\\ &=\frac{e^{2ix+Ki}-e^{-2ix-Ki}}{i(e^{2ix+Ki}+e^{-2ix-Ki})}\\ &=\frac{e^{-2ix}-e^{2ix+2Ki}}{-ie^{2ix+2Ki}-ie^{-2ix}} \end {align} Y así, si permitimos que$4Ci=-e^{2Ki}$, tenemos $$ y (x) = \ tan (2x + K) -2x $$

Answer 3

Comentario: Si usa Wolfram Alpha, también obtendrá la misma solución que Mathematica, pero probablemente con la fórmula$tan(x)=i\frac{1-\exp(2ix)}{1+\exp(2ix)}$ debería obtener la forma de solución$y(x)=tan(2x+c)−2x$.

Answer 4

Ignora Mathematica. También obtengo la solución para ser$y(x) = \tan(2x+k)-2x$.

Habrá una forma complicada de escribir$\tan$ usando la fórmula de Euler, por ejemplo

PS