Pregunta de teoría de conjuntos elemental 2

Question

¿Puedo pedirle que eche un vistazo a la siguiente prueba que hice? Gracias.

Pregunta:

$(A \cup B)\cap ( A\cup C)=A \cup (B \cap C)$

Mi intento:

A B C):

$\cup$ x [(x$\cap$ A)]$\forall$ [(x$\in$ B) (x$\vee$ C)]

=$\in$ x [(x$\in$ A)$\forall$ (x$\in$ B)]$\vee$ [(x$\in$ A)$\wedge$ (x$\in$ C)]

=$\vee$ x [(x$\in$ A)$\forall$ (x$\in$ B)]$\cup$ [(x$\in$ A)$\cap$ (x$\in$ C)]

= (A$\cup$ B)$\in$ (A$\cup$ C)

Answer 1

Muy bien hecho. La "esencia" de su lógica es correcta. Sólo hay un par de problemas menores.

Una cosa que me gustaría añadir, y es posible que simplemente ha sido un error tipográfico, es en la primera línea de tu prueba, desea agregar una falta de $\land$$(x\in B)(x\in C)$:

$$x \in [A \cup(B\cap C)] \iff [(x\in A) \lor ( x\in B \land x \in C)]\tag{*}$$

Aviso también usé $x \in [A\cup(B\cap C)]$ a inicio, sin necesidad de que el cuantificador universal, porque estamos haciendo las afirmaciones acerca de la precisión de cualquier/todos los elementos que pertenecen al conjunto en cuestión. Hacemos uso de esta notación, ya que estamos con el objetivo de mostrar

$$x \in A\cup(B\cap C) \iff x\in [(A\cup B) \cap (A \cup C)]$$ and in doing so, we will have proven the desired equality: $$A \cup(B\cap C) = [(A\cup B) \cap (A \cup C)]$$

Así que usted quiere terminar con $x \in [(A\cup B) \cap (A \cup C)]$ al finalizar la prueba de la igualdad de la mano Izquierda y la mano derecha.

Y el uso de $\iff$ entre líneas (como se usa en (*)). Que significa que "si y sólo si".

Answer 2

La idea de la prueba es correcta. Pero no está escrito en una forma correcta.

Mira el primer signo de igualdad. Escribe $$A \cup (B\cap C) = \forall x[(x\in A)]\vee [(x\in B)(x\in C)].$$ En el lado izquierdo de la igualdad, no es un conjunto. Pero en el lado derecho no es un conjunto, sino una expresión lógica. Este es sin duda no aceptar.

Lo que pensé es, probablemente, $$A \cup (B\cap C) = \{x \mid x\in A\vee (x\in B \wedge x\in C)\}.$$ Ahora en ambos lados de la ecuación, no es un conjunto. Y, por definición, de $\cap$$\cup$, son los mismos.

Espero que usted consigue la idea. Tratar de reescribir su prueba en consecuencia.