Encontrar una base de un espacio vectorial de dimensión infinita con un vector dado

Question

Si $K$ es un campo y $V=K^n$ un finito dimensionales $K$-espacio vectorial con base $A=\{e_1,\dots,e_n\}$, entonces, dado un vector de $v\in V$ podemos encontrar una nueva base $E$ de $V$ tal que $v\in E$; esto se realiza de la siguiente manera:

Primero se forma el conjunto de $\{v\}\cup A$ y observe que se ha $n+1$ elementos, por lo tanto, se extiende a todos los de $V$. Ahora empieza el siguiente proceso: $E_0=\{v\}$. Si $e_1\not\in\text{span}(E_0)$, entonces nos pusimos $E_1=\{v\}\cup\{e_1\}$. De lo contrario, $E_1=E_0$. Entonces, si $e_2\not\in\text{span}(E_1)$, establecemos $E_2=E_1\cup\{e_2\}$; de lo contrario, $E_2=E_1$. Seguimos hasta eliminar todos los elementos de la $A$; el conjunto $E_n$ es nuestra base $E$; obviamente es linealmente independiente y tenga en cuenta que es imposible para "descartar" dos elementos de la $A$, ya que si $e,e'$ fueron descartadas, lo que indicaría que hay no son-todos-cero escalares $\lambda_i,\mu_i$ tal que $e=v+\sum\lambda_ie_i$, $e'=v+\sum\mu_ie_i$, a continuación, $e=e'+\sum(\lambda_i-\mu_i)e_i$, lo cual es imposible, por lo tanto, $E$ ha $n$ elementos.

Mi pregunta es, ¿podemos hacer lo mismo para infinitas dimensiones espacios vectoriales? Es decir, dado un vector $v$ en un infinito dimensional $K$-espacio vectorial $V$, podemos construir (se siente como que es mucho pedir)/ ¿se puede demostrar la existencia de una base $E$ tal que $v\in E$?

P. S: yo vivo en un mundo donde el axioma de elección es cierto, por lo $V$ tiene una base.

Answer 1

Sí (mientras $v \neq 0$). Demostrar que existe una base a través de el Lema de Zorn, demostrando que un elemento maximal (que debe existir por el Lema de Zorn) en la colección de subconjuntos linealmente independientes de a$V$ (parcialmente ordenado por inclusión) es una base. Esta prueba demuestra que cualquier conjunto linealmente independiente puede extenderse a una base -- acaba de tomar un elemento maximal que se extiende el conjunto linealmente independiente. Pero la prueba necesariamente utiliza el Axioma de Elección, por lo que no será constructiva.

Answer 2

Deje $A$ ser una base de $V$ (utilizando AC) y $v \in V$. A continuación, $v$ es una combinación lineal finita de elementos de $A$. wlog asumir que la combinación es $$ v = a + k_2a_2 + \cdots + k_na_n . $$

A continuación, $B = A/\{a\} \cup \{v\}$ es la base: abarca, y cualquier subconjunto finito es linealmente independiente.