Mostrar que la potencia fraccional de un operador lineal está cerrada.

Question

Deje que$H$ sea un$\mathbb R$ - el espacio de Hilbert y$(\mathcal D(A),A)$ sea un operador lineal.

Supongamos que$(e_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathcal D(A)$ es una base ortonormal de$H$ con$$Ae_n=\lambda_ne_n\;\;\;\text{for all }n\in\mathbb N\tag 1$$ for some $ (\ lambda_n) _ {n \ in \ mathbb N} \ subseteq (0, \ infty)% # PS

Permitir que$ with $,$\lambda_{n+1}\ge\lambda_n\;\;\;\text{for all }n\in\mathbb N\;.\tag 2$$\alpha\in\mathbb R$$$\mathcal D(A^\alpha):=\left\{x\in H:\sum_{n\in\mathbb N}\lambda_n^{2\alpha}\left|\langle x,e_n\rangle_H\right|^2<\infty\right\}$ $

Deje que$ and $ y$A^\alpha x:=\sum_{n\in\mathbb N}\lambda_n^\alpha\langle x,e_n\rangle_He_n\;\;\;\text{for }x\in\mathcal D(A^\alpha)\;.$ con$(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathcal D(A^\alpha)$$x,y\in H$$$\left\|x_n-x\right\|_H\xrightarrow{n\to\infty}0\tag 3$ $ quiero mostrar que

1. $ and $
2. $\left\|A^\alpha x_n-y\right\|_H\xrightarrow{n\to\infty}0\;.\tag 4$

¿Cómo podemos hacer eso?

Answer 1

La proyección de$x_n -x$ sobre el componente$e_k$ debe converger a cero. Multiplique esta proyección por$\lambda_k^\alpha$ para obtener ese$$\lambda_k^\alpha \langle x_n,e_k\rangle\to\lambda_k^\alpha \langle x,e_k\rangle .\tag{1}$ $

El lado izquierdo de$(1)$ es el mismo que$\langle A^\alpha x_n,e_k\rangle$ que debe converger al componente$e_k$ de$y$. Esto significa $\langle y,e_k\rangle = \lambda_k^\alpha\langle x,e_k\rangle$. Dado que$\sum_k \langle\cdot,e_k\rangle e_k$ es la identidad (convergencia de la suma en SOT), esto da:

$$y=\sum_k \langle y,e_k\rangle e_k=\sum_k \lambda_k^\alpha\langle x,e_k\rangle e_k\tag{2}$ $ lo más importante: el lado derecho existe. Esto significa$x\in \mathcal D(A^\alpha)$ y también$y=A^\alpha x$ como se puede leer de$(2)$.

Answer 2

Si dejas $\{ e_n \}$ ser un ortonormales base del espacio de Hilbert $H$, y si los dejamos $\{ \mu_n \}$ ser una secuencia de no negativo números reales, entonces $Ax = \sum_{n}\mu_n\langle x,e_n\rangle e_n$ se define en su dominio de la naturaleza $$ \mathcal{D}(A)=\left\{ x\in H : \sum_{n}\mu_n^2|\langle x,e_n\rangle|^2 < \infty \right\}. $$ Si $\lambda < 0$, entonces la siguiente define una limitada operador lineal en $H$: $$ R(\lambda)x = \sum_{n}\frac{1}{\mu_n-\lambda}\langle x,e_n\rangle e_n. $$ Se puede comprobar que el rango de $R(\lambda)$ está contenido en $\mathcal{D}(A)$,$(A-\lambda I)R(\lambda)=I$. Y $R(\lambda)(A-\lambda I)=I$ en $\mathcal{D}(A)$. $R(\lambda)$ es cerrado, ya que está definido en todas partes y está delimitada en $H$. Por lo $A-\lambda I = R(\lambda)^{-1}$ está cerrado debido a que la gráfica de $A-\lambda I$ es la transpuesta de la gráfica de $R(\lambda)$$H\times H$.