Aquí es Prob. 17 en los Ejercicios después del Capítulo 2 del libro de los Principios de Análisis Matemático por Walter Rudin, 3ª edición.
Deje $E$ ser el conjunto de todos los $x \in [0,1]$ cuya expansión decimal contiene sólo los dígitos $4$$7$. Es $E$ contables? Es $E$ denso en $[0,1]$? Es $E$ compact? Es $E$ perfecto?
Mi esfuerzo:
El conjunto $E$ no es contable. La prueba es esencialmente la misma que para mostrar que el conjunto de todas las secuencias binarias es incontable. Estoy en lo cierto?
El conjunto $E$ no es denso en $[0, 1]$. El elemento más pequeño en $E$ es $$x_\min \colon= \frac{4}{10} + \frac{4}{10^2} + \frac{4}{10^3} + \ldots = \frac{4}{9},$$ y el elemento más grande en $E$ es $$x_\max \colon= \frac{7}{10} + \frac{7}{10^2} + \frac{7}{10^3} + \ldots = \frac{7}{9}.$$ Por lo tanto, el conjunto de $E$ es (estrictamente) contenida en el intervalo cerrado $[\frac{4}{9}, \frac{7}{9}]$. Así, el elemento $\frac{1}{5}$$[0,1]$, por ejemplo, no está en el cierre de $E$. Estoy en lo cierto?
El conjunto $E$ es claramente delimitado. Así, por compacidad, es suficiente para mostrar que $E$ es cerrado. [No importa si $E$ es cerrado en $[0,1]$ o $\mathbb{R}$, ya que la primera es un conjunto cerrado en el último.] Así se demuestra que el complemento de $E$ $[0,1]$ está abierto en $[0,1]$.
Deje $x \colon= \sum_{n=1}^\infty \frac{d_n}{10^n}$ ser un elemento arbitrario de $[0,1]-E$, donde cada una de las $d_n \in \{ 0, 1, 2, \ldots, 9 \}$. Entonces existe un entero positivo $n$ tal que $d_n \not\in \{4, 7\}$. Deje $N$ ser al menos tan entero positivo, y deje $\delta$ ser un número real tal que $$0< \delta < \frac{\min\left( \vert d_N - 4 \vert, \vert d_N - 7 \vert \right)}{10^{N+2}}. $$ Deje $y \colon= \sum_{n=1}^\infty \frac{e_n}{10^n}$ ser un elemento de $E$, donde cada una de las $e_n$ es $4$ o $7$. Supongamos también que $e_n = d_n$ todos los $n \in \{1, \ldots, N-1\}$. ¿Qué es lo siguiente? Cómo mostrar que $y$ no estar dentro de $\delta$$x$?
Para mostrar que $E$ es perfecto, tenemos que mostrar que $E$ es cerrado y de que cada elemento de a $E$ es un punto límite de $E$.
Deje $x \colon= \sum_{n=1}^\infty \frac{d_n}{10^n}$ ser un elemento arbitrario de $E$, donde cada una de las $d_n$ es $4$ o $7$. Deje $\delta > 0$. Entonces existe un menor entero positivo $N$ tal que $$\frac{3}{10^N} < \delta.$$
Deje $y \colon= \sum_{n=1}^\infty \frac{d_n^\prime}{10^n}$, donde cada una de las $d_n^\prime$ es $4$ o $7$, a ser el elemento de $E$ tal que $$d_n^\prime = \begin{cases} d_n \ \mbox{ if } \ n \in \mathbb{N} \ \mbox{ and } n \neq N; \\ 4 \ \mbox{ if } \ n = N \ \mbox{ and } d_N = 7; \\ 7 \ \mbox{ if } \ n = N \ \mbox{ and } d_N = 4. \end{casos} $$ Entonces $$0< \vert x -y \vert < \delta.$$ Esto demuestra que cada elemento de a $x$ $E$ también es un punto límite de $E$. Estoy en lo cierto?
