Resolución de un Fokker-Planck estacionario en 2D

Question

He estado intentando encontrar una solución a la siguiente ecuación de Fokker-Planck estacionaria en 2D:

$$\frac{\partial}{\partial x}\left[D_x \frac {\partial P}{\partial x} + P \frac{\partial U}{\partial x}\right] + \frac{\partial}{\partial y} \left[D_y \frac{\partial P}{\partial y} + P \frac{\partial U}{\partial y}\right]=0$$

para hallar la distribución de probabilidad $P(x,y)$ (Estoy trabajando con un sistema de dinámica browniana a dos temperaturas y he estado intentando calcular la distribución de equilibrio).

Para los sistemas con los que estoy trabajando, puedo asumir que

$$\frac{\partial U}{\partial x} = a_1 x + a_2 y $$ $$\frac{\partial U}{\partial y} = a_3 x + a_4 y$$

Hasta ahora, he intentado abordar esta cuestión con un enfoque de separación de variables, por ejemplo, suponiendo que $P(x,y)=\Phi(x)\Psi(y)$

pero no parece posible separar las variables.

¿Existe otra forma estándar de enfocar este tipo de problema? Si alguien pudiera indicarme alguna otra cosa que pudiera intentar, estaría en deuda con ustedes.

Gracias.

Edita:

No hay límites para $x$ o $y$ : $x,y \in (-\infty, \infty)$

La única condición es que:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dy \; P(x,y) = 1$$

Answer 1

He aquí una solución para el caso $D_x = D_y = 1$ .

En general, la solución de su problema viene dada por $P(x,y) = c \cdot e^{-U(x,y)/2}$ . Se trata de un múltiplo de una distribución de probabilidad si $U \to \infty$ lo suficientemente rápido como $x,y \to \infty$ .

Si las derivadas parciales de $U$ son funciones lineales de la forma dada en tu post, entonces necesariamente $a_2 = a_3$ . Ahora ajuste $A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_4 \end{pmatrix}$ y escribe $\mathbf{x}$ para el vector columna $(x,y)^T$ . Su ecuación puede escribirse ahora de forma compacta en la forma $$ \nabla \cdot \left( \nabla P + P \cdot A\mathbf{x} \right) = 0 $$ La solución viene dada por $$ P(\mathbf{x}) = c \cdot e^{-\frac{1}{2}\mathbf{x}^TA\mathbf{x}} $$ o por escrito en detalle $$ P(x,y) = c \cdot e^{-(a_1x^2 + 2a_2xy + a_4 y^2)/2} $$ donde $c$ es cualquier constante. Esta tiene una integral finita si $A$ es positiva definida, es decir $a_1 > 0$ y $a_1a_4 - a_2^2 > 0$ . En ese caso se puede encontrar una constante positiva $c$ tal que $P$ es una densidad de probabilidad.