Significado del tensor electromagnético doble$\tilde{\mathbf{F}}$ / su derivación

Question

En el contexto de las ecuaciones de Maxwell, me preguntaba si había algún significado físico a la doble EM Campo Tensor y/o sus distintas derivaciones. Tiene componentes: $$\tilde{\textbf{F}} = \begin{bmatrix} 0 & B_1 & B_2 & B_3 \\ -B_1 & 0 & -E_3 & E_2 \\ -B_2 & E_3 & 0 & -E_1 \\ -B_3 & -E_2 & E_1 & 0 \end{bmatrix}.$$ He visto dos maneras de derivar, la cual utiliza el índice de reducción a través de la Métrica de Minkowski [1]: $$\tilde{F}_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha}F^{\alpha\beta}\eta_{\beta\nu}$$ y otro que utiliza el Levi-Civitia Tensor [2, P. 111]: $$\tilde{F}_{\mu \nu} = \frac{1}{2}\epsilon_{\mu \nu \alpha \beta}F^{\alpha \beta}.$$ [También soy consciente de que puede ser alcanzado a través de la sustitución de $ E_m \to -B_m$$B_m \to E_m$, sin embargo, parece como si esta es tan solo una consecuencia de las definiciones anteriores.]

Son estas dos definiciones sólo formalismos para la doble EM tensor tiene la forma de hacerlo puede ser utilizado en ciertas ecuaciones físicas (tales como la simplificación de las ecuaciones de Maxwell: $\partial_\mu\tilde{F}_{\mu \nu}$) o hay alguna intuición física a la forma(s) en la que se define?

Answer 1

Para entender la razón de la definición de la doble tensor electromagnético, usted necesita entender el electromagnetismo en el lenguaje de las formas diferenciales. Un muy recomendable libro para que se Medidor de Campos, los Nudos y la Gravedad por Báez y Muniain.

Cuando usted lee el libro que usted va a ver que el tensor electromagnético $F$ es una 2-forma. En términos simples, un $n$-formulario puede ser descrito como un tensor con $n$ antisimétrica índices, y así que tiene sentido que $F_{\mu\nu}$ es una 2-forma si es antisimétrica en $\mu$ $\nu$ (lo que es).

En $d$ dimensiones, hay una operación que se llama el dual de Hodge y se denota por una estrella de $\star$, lo que lleva a una $n$forma $A$ $(d-n)$forma $\star A$. Así, en el caso especial de que el tensor electromagnético $F$ en 2 dimensiones, tenemos $n=2$$d=4$, y el dual $\star F$ del tensor electromagnético es otro 2-forma definida de la siguiente manera:

$$(\star F)_{\mu\nu} \equiv \frac{1}{2}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^{\rho\sigma}.$$

Ahora, en el lenguaje de las formas diferenciales, las ecuaciones de Maxwell pueden ser muy expresa elegantemente como:

$$dF=0,$$

$$d \star F = \star J,$$

donde $J$ es el actual, que es una 1-forma. La primera línea le da las dos primeras las ecuaciones de Maxwell en términos de$E$$B$, y la segunda línea le da las otras dos las ecuaciones de Maxwell en términos de$E$$B$.

Crucialmente, es imposible conseguir todos los 4 las ecuaciones de Maxwell mediante $F$ solo; su doble $\star F$ debe ser utilizado en la segunda ecuación.

Les invito a que lean el libro que he recomendado anteriormente para obtener más información; todo esto, y mucho más, se explica muy claramente allí.

Answer 2

A pesar de que ha recibido una respuesta a esta pregunta, pensé que podría ser también de interés que hay un subyacente todo el espacio que le da otra perspectiva sobre el operador de Hodge como, en cierto sentido, una rotación de 90 grados del problema acerca de algunos que no son inmediatamente aparentes eje.

Spin espacio

De modo que existe un más fundamental de la teoría de que el espacio de Minkowski naturalmente surge, y que puede ser llamado "spinor álgebra" o "giro espacial" o lo que sea. La idea básica es que tomamos las matrices de Pauli $\sigma_{1,2,3}$ que usted podría estar familiarizado con la mecánica cuántica, se adhieren a la matriz identidad como $\sigma_w$, y luego tomar los componentes de un worldvector $v^\mu$ en el espacio de Minkowski y la forma de 2x2 Hermitian matriz $V = \sigma_w v^w + \sigma_x v^x + \sigma_y v^y + \sigma_z v^z.$ (Como de costumbre, $w=ct.$)

Esto me parece muy arbitrario, a primera vista, pero se vuelve menos arbitraria, cuando uno se da cuenta de que $\det V = v_\mu~v^\mu$ $(+~-~-~-)$ métrica. Desde la definición de la transformación de Lorentz es "cualquier cosa que preserva la métrica" ahora tenemos refundición esto como "cualquier cosa que asigna estos Hermitian matrices a otros Hermitian matrices con el mismo determinante", y nos enteramos de que las transformaciones de Lorentz, naturalmente, se dividen en cuatro poblaciones separadas: la "principal" se continua con la identidad de transformación y toma la forma $V\mapsto L V L^\dagger$ donde $L$ es un 2x2 complejidad de la matriz con determinante 1; la otra población mediante la composición de estos con los dos paridad transforma $V \mapsto -V$ $V \mapsto (\det V)V^{-1}.$ Así que esta es la conexión entre el grupo de Lorentz y el grupo $\text{SL}(2, \mathbb C),$ visto directamente. También conseguimos una muy buena teoría de la ventaja de que el subgrupo de las rotaciones es precisamente el caso en que $L$ es unitaria.

Si prestamos atención a lo $L$ encarna una rotación por $\theta$ sobre el $z$-eje elegimos anteriormente, podemos descubrir que en realidad es $L = \exp(i\sigma_z~\theta/2) = \cos(\theta/2) ~I+ i\sin(\theta/2)\sigma_z,$ tiene la propiedad de que después de una rotación por $2\pi$ nosotros no tenemos un final en $I$ sino $-I.$ por supuesto el hecho de que la transformación es $V\mapsto L~V~L^\dagger$ significa que los dos signos menos cancelar, pero no en la naturaleza de los vectores de la matriz del espacio. Así por ejemplo, si tenemos un vector nulo $\det V = 0$ sabemos que eso es una proyección y puede ser escrita como un exterior del producto, $V = v~v^\dagger,$, pero en 360 grados de rotación de mapas de $v \mapsto - v$ y, por tanto, $v$ es un spinor, esta propiedad de "después de una vista de 360 grados de rotación de vuelta, el negativo de lo que comenzó con" ser de la definición de la propiedad de spinors. Así que el natural de espacio vectorial que estos $V$ matrices de vivir en la cima de es este spin-espacio y sus vectores son spinors con respecto al grupo de elementos que giran en nuestro espacio 3D. Podemos ver que necesitamos 4 componentes complejos de lo que podemos llamar " $v^{00}, v^{01}, v^{10}, v^{11},$ a describir nuestros 4-vector, pero ellos están relacionados por la Hermitian restricción.

Ser capaz de expresar esta restricción en nuestro formalismo tenemos que imaginar que $\psi^a$ vive en un spinor espacio de $\mathcal S^a$ y tiene una canónicas conjugadas $\bar\psi^{\bar a}$ viven en la spinor espacio de $\mathcal S^\bar a.$ Este canónica de la conjugación de la relación distribuye sobre los productos y sumas de la forma sencilla, y más de múltiplos escalares por $\bar{\alpha~\psi^a} = \alpha^*~\bar\psi^{\bar a}.$ Y, a continuación, podemos decir que nuestro verdadero 4-vectores son estos 2-spinors $v^{a\bar a}$ con un par de normal y se le prohibió índice, y son reales en el sentido de que $v^{a\bar a} = \bar v^{a\bar a}.$ Nota de que los excluidos de los espacios y la tienen llave ni rejas no pueden fácilmente confundirse el uno con el otro (esto lleva bastante inmediata tipo de errores), así que simplemente permiten a los excluidos tienen llave ni rejas índices para viajar libremente unos con otros en spinor expresiones.

Debemos, por tanto, representan un índice de la worldvector espacio de $v^\alpha$ con un par de relacionados con los índices de $v^{a\bar a},$ donde la barra indica que en la conjugación de este símbolo $\bar a$ se supone que se corresponden con el símbolo $a$. En otras palabras, definimos la operación $\bar{p^A} = \bar p^{\bar A}$ como un complejo de la conjugación de la operación en la vuelta espacio de $\bar{\alpha p^a + \beta q^a} = \bar p^{\bar A}$Sin pérdida de generalidad podemos conmutar prohibido índices tienen llave ni rejas, uno pertenece a la "conjugar el espacio".

Esto también permite que usted disfrute de un interesante "métrica de la raíz cuadrada": si nos imaginamos que el producto interior $g_{\alpha\beta} u^\alpha v^\beta$ es encarnada por una spin-espacio tensor $\epsilon_{ab}\epsilon_{\bar a\bar b}~u^{a\bar a}v^{b\bar b}$ podemos encontrar que una elección natural resultante en nuestra $(+~-~-~-)$ métrica simplemente se escriben $\epsilon_{ab} = \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$. En otras palabras, naturalmente, encontrar que si le damos la vuelta-el espacio, la orientación del tensor, que por arte de magia se convierte en una métrica en el espacio del mundo.

También, naturalmente, la orienta en el espacio de Minkowski, al mismo tiempo, con $$\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} = \epsilon_{a\bar a b\bar b g\bar g d\bar d} = i\epsilon_{ag}\epsilon_{bd}\epsilon_{\bar a\bar d}\epsilon_{\bar b\bar g} - i \epsilon_{ad}\epsilon_{bg}\epsilon_{\bar a\bar g}\epsilon_{\bar b\bar d}.$$

Lo tensores antisimétricos en spin-espacio.

Su antisimétrica de valencia[0, 2] mundo-tensor obedece $F_{\alpha\beta} = -F_{\beta\alpha},$ que en el spin-espacio se ve como $$F_{a\bar ab\bar b} = -F_{b\bar ba\bar a}.$$

Ahora viajan barrotes de índices para el final, y reemplazarla con la suma de las dos mitades de la misma, $$F_{ab\bar a\bar b} = \frac12 F_{ab\bar a\bar b} - \frac12 F_{ba\bar b\bar a}.$$ Sumar y restar "hacia atrás" de la mezcla $\pm F_{ab \bar b \bar a}$ a esta expresión con la asociada a la simetría; uno tiene: $$F_{ab\bar a \bar b} = \frac12 (F_{ab\bar a\bar b} - F_{ab\bar b \bar a}) + \frac12 (F_{ab\bar b\bar a} - F_{ba\bar b \bar a}).$$ Ahora un teorema en el giro de espacio es que si en un par de normal (bien sea por la no conjugada o ambos conjugados) índices es antisimétrica puede ser "reducido" a una simple $\epsilon_{ab}$ plazo, y aquí vemos que aparecen en dos lugares, $$F_{ab\bar a \bar b} = \varphi_{ab}~\epsilon_{\bar a \bar b} + \epsilon_{ab}~\bar \varphi_{\bar a \bar b},$$where the requirement that these be conjugate 2-spinors comes from the fact that $F$ is real. One can also work out that the 2-spinor $\varphi_{ab}$ es simétrica y por lo tanto tiene complejo de 3 grados de libertad, o de 6 reales.

La aplicación de la orientación se puede escribir, $$\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}~F^{\gamma\delta} = (i\epsilon_{ag}\epsilon_{bd}\epsilon_{\bar a\bar d}\epsilon_{\bar b\bar g} - i \epsilon_{ad}\epsilon_{bg}\epsilon_{\bar a\bar g}\epsilon_{\bar b\bar d})(\varphi^{gd}~\epsilon^{\bar g \bar d} + \epsilon^{gd}~\bar \varphi^{\bar g \bar d}).$$ Aquí la elevación de los índices que se ha hecho con $\epsilon^{ab}$ definida, de modo de hacer de $\epsilon^{ab}~\epsilon_{cb} = \delta^a_c,$, y esto a su vez el colapso de esas expresiones: $$\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}~F^{\gamma\delta} = -2i\varphi_{ab}~\epsilon_{\bar a \bar b} - 2i\epsilon_{ab}\bar\varphi_{\bar a\bar b}.$$ En otras palabras, el campo electromagnético es un [0 2]-spinor, y no es una operación que podríamos llamar Hodge rotación, $\varphi_{ab} \mapsto e^{-i\theta} \varphi_{ab},$ y el dual de Hodge es sólo el de 90 grados Hodge rotación. El hecho de que es importante que está diciendo realmente es que tenemos todas las piezas de este 2-spinor, no sólo la "parte real" como naturalmente visto en el mundo-tensor, para describir su evolución y escalar invariantes.

También ayuda a entender esto, en la formación de los invariantes de Lorentz $\varphi_{ab}~\varphi^{ab}.$ Si usted mira cuidadosamente el producto $F_{ab}F^{ab}$ es sólo va a dar la parte real de esta, que es $E^2 - B^2.$ Pero hay otro invariante de Lorentz que es la parte imaginaria $E \cdot B.$ E este invariante de Lorentz sólo viene naturalmente de $F_{ab} \tilde F^{ab}$. Por lo que necesita esta orientación del tensor para mostrar correctamente este extra invariante de Lorentz que estaba "escondido" de antes.