Podemos reformular los requisitos de $\ell p > n$ a un árbol con $\ell$ nodos hoja del $n$ total y máximo de la ruta que implican $p$ vértices.
Por la inspección, la afirmación es verdadera para el caso trivial de $n=2$. Para $n\ge 3,$ el camino más corto posible involucra $3$ vértices, y debe incluir una hoja no vértice.
Supongamos que un árbol tiene más larga de la ruta de acceso que implican $p$ vértices. Encontrar un máximo de longitud de ruta de acceso de cada hoja, y organizar en orden descendente. Ahora consideremos cada uno de estos caminos a su vez, descartando aquellas de las hojas que ya han sido visitados y teniendo en cuenta cómo muchos de los que hasta ahora no visitados vértices están involucrados en cada momento. Esto implica en la mayoría de las $p/2$ nuevos vértices por nueva hoja de considerar, ya que si la ruta va a una hoja ya se considera, la nueva parte no puede ser más de $p/2$ o una ruta más larga, y si se va a una virgen de la hoja podemos dividir los nuevos vértices entre las dos hojas.
Después de visitar $m$ deja así nos han visitado ya más de $mp/2$ diferentes vértices total, y es evidente que esto aún se mantiene después de visitar todas las $\ell$ deja, cuando todos los vértices han sido visitados, es decir, $\ell p>n$ como se requiere.
P. S. tal vez "todos los vértices han sido visitados" no es bastante obvio. Esto parece evidente para mí, pero una prueba tomaría un poco más de esfuerzo que parece apropiado aquí.
