Muestre que$f$ es monomorfismo y demuestre que para:$\left\langle v,w \right\rangle _{X}=\left\langle f(v),f(w) \right\rangle _{Y}$

Question

$(X,\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle _{X})$, $(Y,\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle _{Y})$ son euclidiana espacios. Lineal mapa de $f \in L(X,Y)$ es tal que para todos los $v \in X$: $\left\langle v,v \right\rangle _{X}=\left\langle f(v),f(v) \right\rangle _{Y}$.

(a) Mostrar que $f$ es monomorphism.
(b) Demostrar que para todos los $v,w \in X$: $\left\langle v,w \right\rangle _{X}=\left\langle f(v),f(w) \right\rangle _{Y}$

Sé que $f$ es monomorphism cuando $ker f=\left\{ 0\right\} $, $f$ es inyectiva y realiza cada una de las linealmente independientes del sistema en un linealmente independientes del sistema. Sin embargo, creo que esta información es insuficiente en esta tarea y no sé cómo puedo usarlo.

Answer 1

$f(x)=0$ implica que $0=\langle f(x),f(x)\rangle_Y=\langle x,x\rangle_X$ deducimos que $x=0$ ya que $\langle,.,\rangle_X$ es un producto escalar.

$\langle f(u+v),f(u+v)\rangle_Y=\langle f(u),f(u)\rangle_Y+2\langle f(u),f(v)\rangle+\langle f(v),f(v)\rangle_Y=\langle u+v,u+v\rangle_X=\langle u,u\rangle_X+2\langle u,v\rangle_X+\langle v,v\rangle_X$ implica

que $\langle f(u),f(v)\rangle_Y=\langle u,v\rangle_X$ desde $\langle f(u),f(u)\rangle=\langle u,u\rangle$ .

Answer 2

a)Supongamos que f no es un monomorphism. Entonces existe v, w tal que v $\not=$ w y f(v) = f(w). Puesto que f es lineal, lo que implica que f(v)-f(w) = f(v-w) = 0. Entonces

$$0\not= <v-w,v-w>_X = <f(v-w),f(v-w)>_Y = 0,$$una contradicción.

b) se utiliza una técnica similar para probar b)

$$<v-w,v-w>_X = <v,v>_X - 2<v,w>_X + <w,w>_X$$

$<f(v-w),f(v-w)>_Y$ = $$<f(v)-f(w),f(v)-f(w)>_Y = <f(v),f(v)>_Y-2<f(v),f(w)>_Y + <f(w),f(w)>_Y.$$

La combinación de los dos, obtenemos $$-2<v,w>_X = -2<f(v),f(w)>Y \checkmark$$