Número de particiones de $2n$ sin ningún elemento mayor que $n$

Question

El número de particiones de $2n$ en particiones con ningún elemento mayor que $n$ (copiado y ligeramente adaptado de http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionq.html ), así que estoy buscando una buena fórmula de $q(2n,n)$ .

Preguntando http://www.wolframalpha.com/input/?i=integer+particiones+de+12 y contando los de interés obtengo resultados del 2 al 12, que son los siguientes: $$ 1,3,7,15,30,58 $$ que coincide con los datos de http://oeis.org/A026820/table cuando se parte de la $1$ en la fila 2 y bajar directamente. Mi pregunta es ahora, si hay fórmula cerrada o al menos una asintótica para $q(2n,n)$ ?

Answer 1

Para los grandes $n$ , estas son casi todas las particiones que hay. Puede haber como máximo una parte $m$ más grande que $n$ y las partes restantes forman una partición de $2n-m$ , por lo que tenemos

$$q(2n,n)=p(2n)-\sum_{k=0}^{n-1}\;p(k)\;.$$

Para los grandes $n$ los términos de la suma son exponencialmente menores que $p(2n)$ , por lo que asintóticamente

$$q(2n,n)\sim p(2n) \sim \frac {1} {8n\sqrt{3}} e^{\pi \sqrt {\frac{4n}{3}}}\;.$$

Answer 2

La primera $36$ los valores son:

1, 3, 7, 15, 30, 58, 105, 186, 318, 530, 863, 1380, 2164, 3345, 5096, 7665, 11395, 16765, 24418, 35251, 50460, 71669, 101050, 141510, 196888, 272293, 374423, 512081, 696760, 943442, 1271527, 1706159, 2279700, 3033772, 4021695, 5311627

Aquí hay un gráfico (lin-log), que también muestra la curva de la expresión asintótica de Joriki $\frac{1}{8 n \sqrt{3}} e^{\pi \sqrt{\frac{4 n}{3}}}$ .

$\hspace{1in}$

La lista se generó utilizando

Length@IntegerPartitions[2n, All, Range[n]]

en Mathematica .

Answer 3

Utilizando el siguiente resultado para funciones generadoras de particiones restringidas lo que necesito se puede calcular como $$ \left(\frac{d^{2n}}{dx^{2n}}\prod_{k=1}^n (1-x^k)^{-1} \right) \Biggr|_{x=0} =\left(\frac{d^{2n}}{dx^{2n}}\sum_{k=0}^\infty h_{nk}x^k\right) \Biggr|_{x=0}, $$ donde $h_{nk}$ es el número de formas, que $k$ puede escribirse con $n$ como valor más grande.