¿Es$f(x) > 0$ para todos$x>0$?

Question

Probar o refutar.

Si $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función diferenciable, $f'(x) > f(x)$ para todos $x$ y $f(0) = 0$ , entonces $f(x) > 0$ para todos $x>0$ .

Si pudiera apuntarme en la dirección correcta, sería muy apreciado.

Answer 1

$(e^{-x}f(x))'=e^{-x} (f'(x)-f(x)) >0$ así que $e^{-x}f(x)$ es una función creciente. Dado que es $0$ en $0$ , obtenemos $e^{-x}f(x)>0$ para todos $x>0$ . Por lo tanto, $f(x)>0$ para todos $x>0$ .

Answer 2

He aquí una prueba utilizando el valor medio teorema.

Deje $m = \operatorname{inf} \{ x > 0 \colon f(x)\leq 0\}$. Este infimum existe, ya que los reales están completas y el conjunto está acotado abajo por $0$. Desde $f'(0)>0$, existe alguna $\varepsilon >0$ tal que $f(x) > f(0)$ para $x\in (0,\varepsilon)$. Esto significa que si hay algo de $x>0$ con $f(x) \leq 0$, a continuación, $\varepsilon$ es también un límite inferior. (Esto es común lema En el contexto de la media del teorema del valor).

Por lo tanto, es suficiente para mostrar que $m=0$. Supongamos $m>0$. Por el valor medio teorema, hay algún punto de $y\in (0,m)$ con $f'(y) \leq 0$. Por nuestras suposiciones, entonces tenemos $f(y) < f'(y) \leq 0$. Por lo tanto $y$ contradice la minimality de $m$.