¿Por qué aceptamos la definición de pares ordenados de Kuratowski?

Question

Me ha costado entender la definición de Kuratowski de pares ordenados. Entiendo lo que significa pero no veo por qué debo aceptarla. He visto esta pregunta y este Y lo que es más importante, a través de la lectura del página wiki Me he dado cuenta de una cosa.

La única razón $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ se acepta es porque satisface

$(a,b)=(c,d) \iff (a=c) \land (b=d)$

¿No estoy entendiendo mal? Si puedo presentar mi propia definición exótica que satisfaga el enunciado iff anterior, ¿se aceptará?

Answer 1

¿Por qué la teoría de conjuntos sin el axioma de fundamento? es un artículo que explica una implementación alternativa de los pares ordenados, aparentemente debida a Quine. Es mucho menos evidente que la definición de Kuratowski, pero tiene la ventaja añadida de que $x = \langle z, x \rangle$ puede ser verdadera sin contradecir el Axioma de Fundación estándar (el documento vinculado entra en más detalle en cuanto a por qué y cómo lo harías).

Para describir la construcción, necesitaré algo de notación: $s$ es la función que toma un ordinal de von Neumann finito (es decir, un miembro de $\omega$ ) y le añade 1, dejando todo lo demás intacto, $z(x) = x \cup \{0\}$ y si $f$ es una función, entonces $f“x$ es el conjunto $\{ f(y) : y \in x \}$ .

Entonces $s“x$ y $s“y$ son conjuntos de los que podemos recuperar fácilmente $x$ y $y$ y que no contienen $0$ .

Ahora, el remate: $\langle x, y \rangle = s“x \cup z“(s“y)$ .

$s“x$ es recuperable como $\{z \in \langle x, y \rangle : 0 \not\in z\}$ ;

$s“y$ es $\{z \setminus \{0 \}: z \in \langle x, y \rangle, 0 \in z \}$ .

Esto define las proyecciones $\pi_1$ y $\pi_2$ en los componentes primero y segundo respectivamente, por lo que $\langle a,b \rangle = \langle c,d \rangle \implies a = c \wedge b = d$ . Puede comprobar que $x \mapsto \langle \pi_1(x), \pi_2(x) \rangle$ es la identidad, por lo que la inversa es válida.

Answer 2

Lo has entendido bien en su mayor parte. Lo que parece que te falta es

• por qué nos molestamos con una definición,
• que ni siquiera podemos ceñirnos a una única definición.

La razón por la que nos molestamos en una definición es para que sólo tengamos que desarrollar la "teoría de conjuntos", en lugar de tener que desarrollar la "teoría de conjuntos y pares ordenados".

La razón por la que no queremos ceñirnos a una única definición es que otras definiciones pueden tener propiedades útiles en varios casos. Algunos ejemplos son

• A menudo es útil considerar que un par ordenado es una función con dominio $\{0, 1\}$ especialmente en el contexto del trabajo con $n$ -tuplas.
• Algunos dominios pueden tener codificaciones específicas interesantes; por ejemplo, en la teoría de los números, a veces es útil considerar elementos de $\mathbb{Z}/(pq)$ (es decir, los números enteros módulo $pq$ ) para ser pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de $\mathbb{Z}/p$ y cuyo segundo componente es un elemento de $\mathbb{Z}/q$ .

Answer 3

Esta respuesta es muy tardía, y creo que otros han respondido bastante adecuadamente, pero tengo algunas ideas al respecto.

Como otros han señalado, a nadie le importa realmente qué pares ordenados son Sólo lo que ellos hacer . Se puede imaginar que un libro sobre teoría axiomática de conjuntos podría incluir el siguiente texto:

PROPOSICIÓN. Dados los conjuntos $A$ y $B$ existe un conjunto $A\times B$ y dos funciones $p_1\colon A\times B\to A$ y $p_2\colon A\times B\to B$ tal que, para cualquier elemento $a\in A$ y $b\in B$ hay un elemento único $(a,b)\in A\times B$ con $p_1(a,b)=a$ y $p_2(a,b)=b$ . (Este conjunto es un producto de $A$ y $B$ sus elementos son pares ordenados y las funciones son proyecciones .)

PRUEBA. Dado $a\in A$ y $b\in B$ , dejemos que $(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$ , donde $a\in A$ y $b\in B$ ; entonces ...

Una vez demostrada esta proposición, el autor podría decir más tarde: "Considere el subconjunto de $A\times B$ dado por ...". Pero probablemente no se referiría a la prueba y, en particular, no a su uso de la definición de Kuratowski. Todas las propiedades importantes de los pares ordenados están contenidas en la propia proposición.

Lo que podría preguntarse entonces es: "¿Por qué definir los pares ordenados como conjuntos, en lugar de tomarlos como primitivos?" La respuesta es que simplemente no tenemos necesidad de hacerlo. Desde una perspectiva externa, cada teorema de ZFC es en realidad un teorema sobre los modelos de ZFC, diciendo en efecto "Cualquier estructura que satisfaga los axiomas de ZFC debe también satisfacer esta propiedad". Desde esta perspectiva, añadir axiomas innecesarios equivale a añadir hipótesis innecesarias a un teorema: antiestético y posiblemente engañoso.