¿Por qué aceptamos la definición de pares ordenados de Kuratowski?

Question

Me ha costado entender la definición de Kuratowski de pares ordenados. Entiendo lo que significa pero no veo por qué debo aceptarla. He visto esta pregunta y este Y lo que es más importante, a través de la lectura del página wiki Me he dado cuenta de una cosa.

La única razón $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ se acepta es porque satisface

$(a,b)=(c,d) \iff (a=c) \land (b=d)$

¿No estoy entendiendo mal? Si puedo presentar mi propia definición exótica que satisfaga el enunciado iff anterior, ¿se aceptará?

Answer 1

Aceptamos esta definición porque funciona, y funciona muy bien.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que casi nadie se preocupa por la codificación real de los pares ordenados, y en la mayoría de los casos a los teóricos de conjuntos tampoco les importa. Sólo quieren una definición que satisfaga la propiedad que han citado.

No recuerdo ninguna prueba sustancial en la teoría de conjuntos que se refiera realmente a esta definición de pares ordenados. En su lugar, sólo utilizamos el hecho de que hay algún $\varphi(x,y,z)$ que es verdadera si y sólo si $z$ representa el par ordenado $(x,y)$ . Si hubiera elegido una codificación diferente, la prueba seguiría siendo la misma.

Entonces, ¿por qué la utilizamos? Bueno, nos dice que la teoría de conjuntos es lo suficientemente fuerte como para soportar una definición interna de pares ordenados, lo cual es otro "pulgar arriba" a su favor como teoría fundacional. Pero también la usamos porque estaba ahí cuando necesitábamos esa definición, y una vez que tienes una máquina que funciona no te molestas en reemplazar los engranajes que funcionan perfectamente.

Obsérvese que, por sí solo, el objeto de un par ordenado es muy poco interesante. Así que no nos molestamos en encontrar una definición "mejor", porque a nadie le importa realmente cómo se codifica. Sólo queremos saber que existe dentro de nuestro universo matemático, y si nuestro universo matemático se basa en la teoría de conjuntos (de una forma u otra) entonces queremos saber que no necesitamos un tipo extra en el mundo para tener pares ordenados.

Answer 2

Aparte de la que citas, la segunda propiedad sobre los pares ordenados que se necesita para el desarrollo de la teoría de conjuntos es que $$ A\times B = \{ x \mid \exists a\in A, b\in B: x = (a,b) \} $$ debe ser un conjunto siempre que $A$ y $B$ son. Los pares de Kuratowski hacen que esto sea fácil de probar porque $A\times B$ es un subconjunto del conjunto de potencias de $A \cup B$ .

Podríamos imaginar otras definiciones de pares ordenados en las que fuera necesario apelar al Axioma de Reemplazo para demostrar que $A\times B$ siempre existe. Poder hacerlo sólo con el Conjunto de Poderes y los Subconjuntos puede considerarse algo más ordenado.

Answer 3

No importa qué definición de par ordenado utilices: {{a},{a,b}} está bien. {{0,a},{1,b}} está bien

Lo que es realmente importante es que la categoría de conjuntos tiene productos y la propiedad universal de un producto que nos da la capacidad de emparejar y desparejar y da la relación de igualdad que has declarado.

Answer 4

Otra posibilidad es mejorar el lenguaje de la teoría de conjuntos para incluir la noción de pares ordenados y añadir algunos axiomas en consecuencia. Pero entonces tendrías todo tipo de objetos mezclados: Conjuntos con pares de un conjunto y un par de conjuntos y demás como elementos que producen las combinaciones más extrañas en los resultados de, por ejemplo, tomar conjuntos de potencias o uniones. Esto incluye la necesidad de tratar los pares como urelementos pero de naturaleza "no atómica". En definitiva, la teoría puede volverse mucho más enrevesada sin ninguna ganancia real. Kuratowski nos permite tanto trabajar con pares ordenados como trabajar en un mundo donde todo es un conjunto. Mientras que los "tipos personalizados" facilitan el trabajo matemático de siempre, la "monocultura" de la teoría de conjuntos hace que la base sea cómodamente más fiable.

Todo que necesitamos sobre la definición de Kuratowski es, efectivamente, la propiedad fundamental de los pares ordenados, tal y como la mencionas. Lo mismo ocurre con otras construcciones que se pueden realizar con la teoría de conjuntos: Todo lo que solemos necesitar sobre $\mathbb N$ es que obedece a los axiomas de Peano. En su caso, podemos trabajar con $\mathbb N$ como un conjunto dado con elementos opacos $0,1,2,\ldots$ y no es necesario aceptar definiciones como $0:=\emptyset, 1:=\{\emptyset\}, 2:=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}, \ldots, Sn:=\{n\}\cup n$ que lo ponen en la base de la teoría de conjuntos. Al igual que en el caso de los pares, existen alternativas (como $Sn:=\{n\}$ ). Puede que no sea de utilidad práctica, pero es reconfortante que un conjunto que modele los axiomas de Peano pueda construirse fácilmente y no sea necesario añadirlo explícitamente a la teoría.

El más construcciones de $\mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C$ pueden utilizarse como ejemplos adicionales: No trabajamos con pares (Kuratowski) de conjuntos de clases de equivalencia de pares de clases de equivalencia de pares de ordinales finitos cuando calculamos los ceros de la función zeta de Riemann, sino que trabajamos con hechos como que $\mathbb C$ es un campo algebraicamente cerrado y hacer como si, por ejemplo, los números complejos fueran sólo objetos de un nuevo tipo. Y de nuevo hay diferentes opciones que no suponen una diferencia al final (¿los números reales como cortes de Dedekind o como clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy?) La necesidad de mirar bajo el capó de todas las construcciones implicadas puede surgir cuando queremos comunicar sin ambigüedad de qué hablamos ("¿Por qué es $0.\bar9=1$ ?", aunque eso podría hacerse con los axiomas que modelan las construcciones) y quieren enfrentarse a las dudas sobre la "existencia" de la materia ("¿Por qué podemos hablar del conjunto de todas las funciones integrables de Lebesgue pero no del conjunto de todos los conjuntos?").

Answer 5

Todos estamos de acuerdo en el carácter "arbitrario" de la definición de Kuratowski, y en la posibilidad de sustituirla por otras "convenciones" (igualmente arbitrarias), siempre que satisfagan las propiedades básicas (ya discutidas).

Pero, por favor, tenga en cuenta que el falta de a definición matemática de pareja ordenada obligó a dos de los "padres fundadores" de la lógica matemática moderna a "desperdiciar" cientos de páginas (llenas de fórmulas) de su obra maestra (véase Alfred North Whitehead & Bertrand Russell, Principia Mathematica Vol I (1910) : SECCIÓN C: CLASES Y RELACIONES (a partir de: §20. TEORÍA GENERAL DE LAS CLASES [página 196] y §21. TEORÍA GENERAL DE LAS RELACIONES [página 212]) para "duplicar" todo el resultado básico enunciado en términos de funciones proposicionales de una variable

$\psi(x)$

"representando" clases ,

también para funciones proposicionales de dos variables

$\psi(x, y)$ ,

"representar" (diádico) relaciones .

Así, todos los "estudiantes de matemáticas" debemos dirigir cada noche una pequeña oración en beneficio del alma de Kuratowski...