Tengo problemas con el concepto de convexidad. Esta es la declaración que estoy tratando de probar.
Deje que $X$ se normalizará el espacio vectorial. Si $S \subset X$ es convexo y $S^ \circ \neq \emptyset $ entonces $ \partial \overline {S} = \partial S$ .
Aquí, $S^ \circ $ denota el interior de $S$ , $ \overline {S}$ es el cierre de $S$ y $ \partial S$ es el límite de $S$ .
La definición de convexidad que doy en mi libro de texto es de la siguiente manera: El conjunto $S \subset X$ donde X es el espacio vectorial, es convexo si para todos $x,y \in S$ y para todos $t \in (0,1)$ es cierto que $tx + (1-t)y \in S$ .
Mi enfoque fue demostrar que ambos $ \partial \overline {S} \subset \partial S$ y $ \partial \overline {S} \supset \partial S$ . No tuve problemas con el primero, ya que no necesitaba usar convexidad en absoluto. Sin embargo, no puedo averiguar cómo probar lo otro. Lo he intentado así:
Deje que $x$ estar en $ \partial S$ . Para probar que $x \in \partial \overline {S}$ debemos mostrar (por definición de los límites dados en mi libro de texto) que para todos $ \varepsilon >0$ la bola abierta $B(x, \varepsilon )$ se cruza con ambos conjuntos $ \overline {S}$ y su complemento $X \setminus \overline {S}$ .
Una vez más me encontré con un callejón sin salida tratando de probar el segundo, porque no entiendo como la convexidad juega en ello. (Tengo una especie de comprensión intuitiva de por qué la declaración inicial es cierta, pero no puedo averiguar cómo probarlo.)
Tal vez sea mejor otro enfoque. ¡Agradecería cualquier ayuda!
