Composición de mapas lineales que satisfacen$ST\neq TS$

Question

Es la siguiente prueba de la Correcta?

Teorema. Supongamos $V$ es finito-dimensional con $\dim V \ge 2$. Demostrar que no existe $S,T\in\mathcal{L}(V,V)$ tal que $ST \neq TS$.

Prueba. Desde $V$ es finito-dimensional y $\dim V = m\ge 2$ ello se desprende que no existe una lista de vectores $v_1,v_2,...,v_m$$V$, argumentando a partir de los casos

Caso 1$(m =2)$: Considerar las transformaciones lineales $S$ $T$ define de la siguiente manera $$Tv_1=v_1,\ Tv_2=0$$ $$Sv_1=v_2,\ Sv_2 = v_1$$ en consecuencia $$S(Tv_1)=Sv_1=v_2,\ S(Tv_2)=S(0) = 0$$ $$T(Sv_1)=Tv_2=v_1,\ T(Sv_2)=Tv_1 = v_1$$ evidentemente $ST\neq TS$.

Caso 2$(m > 2)$: Considerar ahora las transformaciones lineales $S$ $T$ definido por $$Tv_{j}=v_{m-j+1}$$ $$Sv_{j}=v_{j\bmod m+1}$$ en consecuencia $$T(Sv_j) = v_{m-(j\bmod m+1)+1}$$ $$S(Tv_j) = v_{(m-j+1)\bmod m+1}$$

Supongamos ahora que existe una $j\in\{1,2,...,m\}$ tal que $$m-(j\bmod m+1)+1=(m-j+1)\bmod m+1$$ pero, a continuación,

$$\implies m-(j\bmod m+1)=(m-j+1)\bmod m$$ $$\implies m-(j\bmod m)-1=(m-j+1)\bmod m$$ $$\implies m-1=(m-j+1)\bmod m+(j\bmod m)$$ $$\implies m-1=(m-j+1+j)\bmod m$$ $$\implies m-1=(m+1)\bmod m$$ $$\implies m-1=1$$ $$\implies m=2$$

que resulta en una contradicción podemos ahora concluir que $$\forall j\in\{1,2,...,m\}(S(Tv_j)\neq T(Sv_j))$$ lo que implica que $ST\neq TS$.

$\blacksquare$

Answer 1

La prueba es correcta, además de que el pequeño error que laico manchado. Como laico, dijo, es impresionante que fue tan lejos como la búsqueda de $T,S\in\mathcal{L}(V)$ $TSv\neq STv$ por cada $v$ al $\dim V>2$. Me gustaría señalar dos cosas pequeñas:

1 - En la prueba para el caso de $\dim V=2$, usted no tiene que preocuparse de sí mismo el cálculo de las imágenes de $v_2$$ST$$TS$. Desde $STv_1\neq TSv_1$ esto demuestra que $ST\neq TS$.

2 - podría usar generalizar su construcción en el caso de $\dim V=2$. Definir $S$ $T$ $v_1$ $v_2$ tal y como lo hizo, y luego para $v_3,\dots,v_n$ (si la dimensión es mayor que $2$) definir sus valores en cualquier manera ($Sv_i=Tv_i=v_i$$i\ge 3$o$Sv_i=Tv_i=0$$i\ge 3$, o lo que sea). Usted todavía tendrá $TSv_1=0$$STv_1=v_2$, mostrando que el $TS\neq ST$.