¿La definición de gcd en el dominio euclidiano depende de la valoración?

Question

Dejemos que $D$ sea euclidiano. En $\mathbb Z[i]$ nuestro conferenciante definió $\gcd (a,b)$ como el divisor común con mayor norma. Tengo un pequeño problema con esto, ya que en realidad fijamos la norma $N(a+bi)=a^2+b^2$ .

¿Esta definición depende efectivamente de la norma o es realmente equivalente a la definición general a través de la propiedad universal $$c\mid \gcd(a,b)\iff c\mid a,b$$

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que hay varios $gcd$ s de $a$ y $b$ , por lo que debería ser " a divisor común con norma máxima".

En los dominios euclidianos generales

En general, es cierto que se puede definir un $gcd$ como divisor común con "norma" euclidiana máxima, si y sólo si su norma satisface la condición :

$(*)$ si $a|b$ entonces $N(a)\leqslant N(b)$ con igualdad si y sólo si $a$ y $b$ están asociados.

No sé si siempre se puede elegir esa norma ; es cierto (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_domain ) que siempre se puede elegir uno tal que $a|b \implies N(a)\leqslant N(b)$ pero no sé sobre esta condición más fuerte.

Si $(*)$ no está satisfecha, entonces toma cualquier contraejemplo : o bien $a$ y $b$ se asocian pero $N(a)>N(b)$ o $a$ divide estrictamente $b$ pero $N(a)\geqslant N(b)$ . En ambos casos $b$ es ciertamente un $gcd$ de $b$ y $b$ . Pero en el primer caso, $b$ no tiene norma máxima entre sus divisores. En el segundo caso, si $b$ tiene norma máxima entre sus divisores, entonces también lo tiene $a$ pero no es un $gcd$ y si no es así, hay un $gcd$ que no tiene norma máxima. En todos los casos, la definición de $gcd$ s como divisores comunes con norma máxima se rompe.

Por el contrario, si $(*)$ se cumple, entonces si $a,b\in R$ entonces los divisores comunes de $a$ y $b$ son precisamente los $x\in R$ tal que $(a)+(b)\subset (x)$ . Pero hay un $d$ tal que $(a)+(b)=(d)$ desde $R$ es principal, por lo que los divisores comunes son precisamente los $x$ tal que $(d)\subset (x)$ , es decir $x|d$ . Por ahora no he utilizado la norma salvo para mostrar que $R$ es principal (que es independiente de la norma). Así que ahora $(*)$ da que entre los divisores $x$ de $d$ los que tienen una norma máxima son precisamente los que son tales que $(x)=(d)$ Así pues, el $gcd$ s de $a$ y $b$ .

Caso de un campo numérico

Pero en tu caso es mucho más fácil, porque tu norma no es una función euclidiana inventada, es una norma real, honesta, como en "la norma de un campo numérico". Así que satisface la muy conveniente propiedad de que si $a|b$ entonces $N(a)|N(b)$ y $N(a)=1$ si y sólo si $a$ es una unidad, que obviamente es mucho más fuerte que $(*)$ y hace que la prueba sea más sencilla.