En mi lectura, he visto dos definiciones diferentes de una $n$-de los tipos que creo que son equivalentes, pero estoy atascado en la que muestra esta.
Primero voy a fijar la notación:
Deje $\mathcal{M}$ $\mathcal{L}$- estructura y deje $A\subseteq M$. Definir $\mathcal{L}_A$ a ser el lenguaje obtenido mediante la adición de una nueva constante $c_a$ $\mathcal{L}$por cada $a\in A$. Uno, naturalmente, puede ver $\mathcal{M}$ $\mathcal{M}_A$- estructura mediante la interpretación de $c_a$ en la manera obvia para cada una de las $a\in A$. Definir $\text{Th}_A(\mathcal{M})$ $\text{Th}(\mathcal{M})$ donde $\mathcal{M}$ es visto como un $\mathcal{L}_A$-estructura, y donde
$$\text{Th}(\mathcal{M})=\{\varphi \; | \; \varphi \; \text{is an} \; \mathcal{L}\text{-sentence and} \; \mathcal{M}\models \varphi\}.$$
Definición 1: Vamos a $p$ ser un conjunto de $\mathcal{L}_A$-fórmulas en la variable libre $\{v_1,\cdots,v_n\}$. $p$ se llama $n$-tipo si $p\cup \text{Th}_A(\mathcal{M})$ es válido.
Definición 2: Deje $p$ ser un conjunto de $\mathcal{L}_A$-fórmulas en la variable libre $\{v_1,\cdots,v_n\}$.$p$ es una $n$-tipo de si, para cada subconjunto finito $\Delta$$p$, hay algunos $(m_1,\cdots,m_n)\in M^n$, que al mismo tiempo se dan cuenta de $\Delta$.
He hecho algunos avances, pero no estoy seguro de si esto es o no es un enfoque viable:
Suponga $p$ satisface la definición 1. A continuación, $p\cup \text{Th}_A(\mathcal{M})$ es válido. Por el teorema de compacidad, esto ocurre si y sólo si cada subconjunto finito $\Delta$ es válido. Podemos suponer $\Delta$ se compone solamente de los elementos de $p$. Supongamos $\Delta=\{\varphi_1(\overline{v}),\cdots,\varphi_k(\overline{v})\}$ donde $\overline{v}=(v_1,\cdots,v_n)$. Deje $\psi(\overline{v})=\varphi_1(\overline{v})\wedge \cdots \wedge\varphi_k(\overline{v})$. Ahora, por la integridad de $\text{Th}_A(\mathcal{M})$, $\exists \overline{v} \psi(\overline{v})$ o de su negación son en $\text{Th}_A(\mathcal{M})$.
Debe $\exists \overline{v} \psi(\overline{v})$$\text{Th}_A(\overline{v})$?
