Demuestre que$3^{2n+1}-4^{n+1}+6^n$ nunca es primo para n natural, excepto 1. Intenté factorizar esta expresión pero no pude llegar muy lejos. Es simple de mostrar incluso n, pero n impar fue más difícil, al menos para mí.
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Lissome
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Harrison Burton
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Puedes factorizarlo como$(3^n-2^n)(3^{n+1}+4*2^n)=3^{2n+1}-3*6^n+4*6^n-4*4^n$. Aquí hacemos malabares entre$(ab)^n=a^nb^n$.
Como podemos factorizarlo, para tener un número primo necesitamos que uno de estos factores sea 1, lo que solo ocurre cuando$n$ es uno, es decir, el primer término es$(3-2)$ y el segundo es 17. Tenga en cuenta que el segundo término no puede ser 1, ya que es una suma de dos cantidades positivas.
El primer paso es hacer explícitas las dependencias algebraicas entre$\,3^{2n},4^n,6^n.\,$. Claramente, todo puede expresarse en términos de la base multiplicativamente independiente$\, x = 3^n\,$ y$\,y = 2^n\,$ de la siguiente manera
$$ \begin{align} &3^{2n} = (3^n)^2 = x^2\\ &4^n =\ (2^n)^2 = y^2\\ &6^n = 3^n 2^n = xy\end {align} $$
Reescribiendo nuestra expresión en estos términos obtenemos.
$$ \begin{align} &3\cdot 3^{2n} - 4\cdot 4^n + 6^n \\ =\ & 3\cdot x^2 - 4\cdot y^2 + xy\end {align} $$
A continuación podemos factorizar este polinomio$\, f(x) = 3\,x^2 + y\, x - 4\,y^2 \ $ usando el método AC
$$ {\begin{eqnarray} f \, &\,=\,& \ \ \, 3 x^2+\ y\ x\,\ -\ \ 4y^2\\ \Rightarrow\,\ 3f\, &\,=\,&\!\,\ (3x)^2\! +y(3x)-12y^2\\ &\,=\,& \ \ \ {X^2}+\, y\ X\,\ -\ 12y^2,\,\ \ X\, =\, 3x\\ &\,=\,& \ \ (X+4y)\ (X-\,3y)\\ &\,=\,& \ (3x+4y)\,(3x-3y)\\ \Rightarrow\ \ f\:=\: {3^{-1}}\,(3f)\, &\,=\,& \, (3x+4y)\ (x-y)\\ \end {eqnarray}} $$
