¿La conservación del Wronskiano se cumple según el principio de Noether?

Question

El principio de Noether es el paradigma de que las simetrías de los sistemas de Hamilton y Lagrange corresponden a leyes de conservación de diversos tipos. Considera un oscilador armónico unidimensional $$\tag{*} \ddot{x} + x =0.$$ Si $x_1, x_2$ son dos soluciones, tenemos la conservación de su Wronskiano: $$ \frac d {dt}\left( x_1\dot{x}_2 -x_2\dot{x}_1\right) =0.

¿Esta ley de conservación corresponde a una simetría del sistema? Si es así, ¿cuál?

Una pregunta más general es la siguiente. Considera un sistema Hamiltoniano, es decir, la siguiente EDO $$ \tag{**} \frac{ d}{dt} \begin{bmatrix} q \\ p \end{bmatrix} = J\nabla_{q,p} H(q, p; t), $$ donde $J$ es una matriz antisimétrica. Aquí se tiene el teorema de Liouville que establece que, si $\Omega(t)$ es una región del espacio de fases que evoluciona con el flujo de $(**)$, entonces $$\frac d{dt}\text{Vol }\Omega(t) = \frac d{dt} \iint_{\Omega(t)}dqdp=0.$$ (La mencionada conservación del Wronskiano es un caso especial de este teorema, obtenido tomando $\Omega(t)$ igual al paralelogramo formado por $(x_1, \dot{x}_1)$ y $(x_2, \dot{x}_2)$).

La misma pregunta que antes:

¿Esta ley de conservación proviene de una simetría, y si es así, ¿cuál?

La página de Wikipedia enlazada sugiere que la conservación del volumen en el espacio de fases surge de la invariancia bajo traslaciones en el tiempo. Esto no me parece ser el caso, porque el teorema de Liouville se mantiene incluso en el caso de Hamiltonianos dependientes del tiempo. El ejemplo más simple es el de un oscilador armónico dependiente del tiempo $\ddot{x}+b(t) x =0$. Aquí todavía se tiene la conservación del Wronskiano: $$\frac d{dt}\left(x_1\dot x_2 - x_2 \dot x_1\right) =-b(t)x_1x_2 +b(t)x_1x_2 =0.

Answer 1

1. En primer lugar, hablemos de la conservación Wronskian $$W(q_1,q_2)~=~q_1\dot{q}_2-q_2\dot{q}_1\tag{1}$$ para sistemas 1D. Dentro del caso 1D, la propiedad de un Wronskian conservado (1) no parece mantenerse generalmente más allá de un oscilador armónico con dependencia temporal explícita, es decir, la ley de Hooke $$m\ddot{q}~\approx~-k(t)q ,\tag{2}$$ donde la constante del muelle $k(t)$ puede depender explícitamente del tiempo. (El $\approx$ significa igualdad módulo eom). En ese caso es tentador ver las dos soluciones $q_1$ y $q_2$ como si se produjera a lo largo de dos ejes perpendiculares (que llamaremos $q_1$ y $q_2$ respectivamente, para simplificar) en el plano $\mathbb{R}^2$ . (El avión $\mathbb{R}^2$ puede identificarse con el plano complejo $\mathbb{C}$ (véase la respuesta de Valter Moretti). En otras palabras, estamos considerando el Lagrangiano 2D $$ L_2~:=~\frac{m}{2}(\dot{q}_1^2+\dot{q}_2^2)-\frac{k(t)}{2}(q_1^2+q_2^2).\tag{3} $$ Este Lagrangiano (3) tiene una simetría rotacional, que por Teorema de Noether significa que el momento angular $$ L_3~:=~m(q_1\dot{q}_2-q_2\dot{q}_1)~=~m W(q_1,q_2),\tag{4}$$ y por lo tanto el Wronskiano (1) se conserva en el tiempo.

2. A continuación, debemos mencionar que el punto de partida de OP está estrechamente relacionado con la formulación hamiltoniana covariante, véase, por ejemplo, la Ref. 1 y este Puesto de Phys.SE. Ver también este Phys.SE, que también parte de una construcción similar a la de Wronsk. (A continuación vamos a utilizar Variables de Grassmann-impar pero se puede reformular de forma equivalente en el lenguaje del cálculo exterior y de los productos cuña). Partimos de la acción
   $$ S_0[q]~=~\int\! dt~L_0,\qquad L_0~:=~\frac{m}{2}\dot{q}^2- V(q),\tag{5} $$ con Ecuación de Euler-Lagrange (EL) $$ 0~\approx~\frac{\delta S_0}{\delta q}~=~-m\ddot{q}-V^{\prime}(q). \tag{6}$$ Podemos introducir una transformación nilpotente Grassmann-impar $^1$ $${\rm s} q(t) ~=~ c(t), \qquad{\rm s}^2~=~0.\tag{7}$$ Consideremos ahora la acción de Grassmann-impar $$S_1[q,c]~:=~{\rm s}S_0~=~\int\! dt~L_1,\quad L_1~:=~\frac{d}{dt}\left(m\dot{q}c\right)+ \frac{\delta S_0}{\delta q} c ~=~ m\dot{q}\dot{c}- V^{\prime}(q)c\tag{8}, $$ con ecuaciones EL $$ 0~\approx~\frac{\delta S_1}{\delta q}~=~-m\ddot{c}-V^{\prime\prime}(q)c, \qquad 0~\approx~\frac{\delta S_1}{\delta c}~=~-m\ddot{q}-V^{\prime}(q). \tag{9}$$ (El término de la derivada temporal total en la ecuación (8) es para evitar las derivadas temporales de orden superior en la lagrangiana $L_1$ .) La acción de Grassmann-impar $S_1$ posee por construcción la simetría Grassmann-impar (7), porque ${\rm s}$ es nilpotente, es decir, es cuadrado a cero. Por lo tanto, podemos utilizar un superversión del teorema de Noether para concluir que la correspondiente carga de Noether $$ Q~=~m c\dot{c} \tag{10}$$ se conserva en la cáscara $$ \frac{dQ}{dt}~\approx~0. \tag{11} $$ La carga de Noether (10) es la versión punto-mecánica de la corriente de 2 formas simplécticas de la Ref. 1. Constituye el primer paso en una transformación covariante de Legendre desde la formulación lagrangiana a la hamiltoniana. (La palabra covarianza se refiere al hecho de que el tiempo y el espacio se tratan en pie de igualdad. OP sólo está considerando la mecánica puntual, donde la covarianza no es visible, pero la covarianza manifiesta de Lorentz se convierte en un problema en la teoría de campos. Dejamos al lector que generalice la construcción anterior a la teoría de campos).

3. Por último, hablemos de Teorema de Liouville . Hay varias versiones de Teorema de Liouville .

   Una versión afirma que un Campo vectorial hamiltoniano $X_H=\{H,\cdot\}_{PB}$ en un colector simpléctico $(M,\omega)$ está libre de divergencias $$ 0~=~{\rm div} X_{H}~=~\sum_{i=1}^{2n} \frac{\partial X_H^i}{\partial z^i},\tag{12}$$ donde $z^i$ son Darboux coordenadas / canónico coordenadas . La ecuación (12) está integrada en la geometría simpléctica. Se deduce del hecho de que los campos vectoriales hamiltonianos preservan la estructura simpléctica $$ {\cal L}_{X_H}\omega~=~ 0.\tag{13}$$ Las ecuaciones de Hamilton dicen $$ \dot{z}^i~\approx~\{z^i,H\}_{PB}~=~-X_H^i.\tag{14}$$ Si formamos la corriente $$V^{\mu}~=~(V^0,V^i)~=~(1,-X_H^i)~\approx~(\dot{z}^0,\dot{z}^i)~=~\dot{z}^{ \mu},\tag{15}$$ podemos escribir alternativamente (12) como $$\sum_{\mu=0}^{2n}\frac{\partial V^{\mu}}{\partial z^{\mu}} ~=~0.\tag{16} $$ Aquí hemos introducido la notación $z^0\equiv t$ por el tiempo.

   Otra versión del teorema de Liouville considera una distribución del espacio de fase $\rho \in {\cal F}(\mathbb{R}\times M)$ cuyo derivado del tiempo total/material $$ 0~\approx~\frac{d\rho}{dt}~=~\sum_{\mu =0}^{2n}\frac{\partial \rho}{\partial z^{\mu}} \dot{z}^{\mu} ~\approx~\frac{\partial \rho}{\partial t}+\{\rho,H\}_{PB}\tag{17} $$ desaparece. La ecuación (17) se llama ecuación de Liouville. Expresa la conservación de la probabilidad. A continuación formamos la corriente $$J^{\mu}~=~\rho V^{\mu},\tag{18} $$ que está libre de divergencias $$\sum_{\mu=0}^{2n}\frac{\partial J^{\mu}}{\partial z^{\mu}} ~\approx~0\tag{19}$$ debido a las ecs. (12-18). La ecuación (19) puede verse como una ecuación de continuidad . Tenga en cuenta que el índice $\mu$ se ejecuta sobre variables de espacio de fase y tiempo dinámicamente activas. La ecuación (19) es bastante diferente de una Ley de conservación de Noether $$\sum_{\mu=0}^{D-1}\frac{d j^{\mu}}{d x^{\mu}} ~\approx~0,\tag{20}$$ donde el índice $\mu$ se ejecuta sobre variables de espacio-tiempo dinámicamente pasivas. La mejor apuesta por una conexión con el teorema de Noether parece ser la ec. (17) y este Puesto de Phys.SE.

Referencias:

1. C. Crnkovic y E. Witten, Descripción covariante del formalismo canónico en las teorías geométricas. Publicado en Three hundred years of gravitation (Eds. S. W. Hawking y W. Israel), (1987) 676.

--

$^1$ Para simplificar, utilizamos la convención de que las superderivadas y la transformación ${\bf s}$ son a la izquierda derivación es decir

$$ {\bf s}(fg)~=~{\bf s}(f)~g + (-1)^{|f|}f ~{\bf s}(g). \tag{21} $$

Answer 2

En cuanto a tu primera pregunta, si pasas a variables complejas, el teorema de Noether implica tu ley de conservación. La cuestión es que estás tratando con dos soluciones reales independientes mientras que la ecuación diferencial se refiere a solo una solución. La forma más sencilla de introducir dos soluciones independientes es viéndolas como la parte real y compleja de una solución compleja.

En la práctica, considera el Lagrangiano: $$L = \dot{\overline{z}}\dot{z} + \overline{z}z\tag{1}$$ donde $z = x_1+ix_2$. La ecuación de movimiento es: $$\ddot{z}+ z=0\:,$$ es decir: $$\ddot{x}_j+ x_j=0\quad j=1,2\:.$$ El Lagrangiano (1) es invariante bajo el grupo de un parámetro: $$z \to e^{ia}z\quad a \in \mathbb R\:.$$ El teorema de Noether da lugar a la cantidad conservada compleja: $$I = i\dot{\overline{z}}z - i\dot{z}\overline{z}\:.$$ Fácilmente puedes ver que: $$\frac{1}{2}I = x_1\dot{x}_2 - x_2\dot{x}_1\:.$$