Calculando $\limsup\limits_{n \to \infty}a_n$ y $\liminf\limits_{n \to \infty}a_n$ con $a_n=\left( \frac{n+(-1)^n}{n} \right)^n$

Question

Necesito calcular $\limsup\limits_{n \to \infty} a_n$ y $\liminf\limits_{n \to \infty}a_n$ donde $a_{n} = \left( \dfrac{n+(-1)^n}{n}\right)^n, \: n \in \mathbb{N}$

Mi enfoque consiste en calcular los límites para $n$ ser par o impar.

• $n \pmod 2 \equiv 1$

$$\quad \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{n-1}{n} \right)^n$$

• $n \pmod 2 \equiv 0$

$$\quad \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{n+1}{n} \right)^n$$

No sé cómo puedo resolver las dos fórmulas anteriores. ¿Cómo debo continuar?

Answer 1

Sugerencia . Cabe recordar que $$ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}n\right)^n=e^x, \qquad x \in \mathbb{R}, $$ y se puede observar que $$ \left(1-\frac1n\right)^n\le a_n \le \left(1+\frac1n\right)^n, \quad n=1,2,\cdots. $$

Answer 2

$a_n := \left({n+(-1)^n \over n}\right)^n\implies \log a_n=n\log\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)=n\left(\frac{(-1)^n}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)=(-1)^n+O\left(\frac{1}{n}\right)$

utilizando ese $\log(1+x)=x+O(x^2)$ como $x\to0$ (se puede demostrar mediante series de Taylor / integración / otros métodos diversos).

Así que, $a_n=\exp((-1)^n+o(1))$ por lo que vemos que $\sup a_n=\exp(1)$ y que $\inf a_n=\exp(-1)$ .