Primaria Modelo De La Teoría De La

Question

Estoy trabajando a través de la sección 4.3. en el modelo de la teoría de Dirk van Dalen de la Lógica y la Estructura (quinta ed.). y estoy luchando con van Dalen, a veces descuidada forma de presentar las pruebas.

Como de costumbre dejar una estructura $\mathfrak{A}$ ser elementarily integrado en una estructura $\mathfrak{B}$ ($\mathfrak{A} \prec \mathfrak{B}$), si $\mathfrak{A}$ es isomorfo a algunos primaria de la subestructura de $\mathfrak{B}$. Además, vamos a $\hat{\mathfrak{A}}$ ser la estructura resultante de la $\mathfrak{A}$ mediante la adición de todos los miembros de su dominio como constantes.

Uno crucial lema de van Dalen del tratamiento de la no-estándar de los modelos es la siguiente:

$\mathfrak{A} \prec \mathfrak{B} \Leftrightarrow \hat{\mathfrak{B}} \models Th(\hat{\mathfrak{A}})$

donde $\models$ es el habitual de primer orden a la satisfacción de la relación generalizada para los conjuntos de sentencias y $Th(\mathfrak{A})$ el conjunto de las sentencias verdaderas en $\mathfrak{A}$.

Ahora, mi principal fuente de confusión en la prueba de la izquierda a la derecha dirección es que van Dalen asume sin la prueba de que $\hat{\mathfrak{A}} \models \phi(\bar{a_1}, \ldots, \bar{a_n})$ conlleva $ \mathfrak{A} \models \phi(\bar{a_1}, \ldots, \bar{a_n})$ (deje $\vec{a_i}$ abreviar la secuencia de $\bar{a_1}, \ldots, \bar{a_n}$) y $\mathfrak{B} \models \phi(\vec{a_i})$ conlleva $\hat{\mathfrak{B}} \models \phi(\vec{a_i})$. ¿Por qué es eso así?

En relación con el derecho a la dirección de la izquierda, es fácil demostrar que $\mathfrak{A}$ es una subestructura de $\mathfrak{B}$ y $\mathfrak{A} \models \phi(\vec{a_i}) \Rightarrow \mathfrak{B} \models \phi(\vec{a_i})$ todos los ${a_i}$ desde el dominio de $\mathfrak{A}$. Pero no tengo la inversa de la dirección.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Como por Yoneda comentario, usted tiene que considerar la definición básica de interpretación; ver cap.3.4 Semántica, página 64, en la página 65 :

Vamos ahora a presentar una definición de interpretación para el caso general. Considere la posibilidad de [la estructura] $\mathfrak{A} = \langle A,R_1,\ldots, R_n,F_1,\ldots, F_m, \{ c_i |i \in I \} \rangle$ de un determinado tipo de similitud $\langle r_1,\ldots, r_n; a_1,\ldots, a_m; |I| \rangle$ [donde, vea la página 54 : ] el $c_i$ son elementos de Un (constantes).

Creo que es mejor llamar a ellos distinguidos elementos, con el fin de evitar la confusión con las constantes de $\overline c_i$, los cuales son símbolos de la lengua [consulte la página 56]; por supuesto, el $c_i$'s son la referencia de la $\overline c_i$'s.

El idioma correspondiente ha predicado símbolos $\overline R_1,\ldots,\overline R_n$, símbolos de la función de $\overline F_1,\ldots, \overline F_m$ y la constante de símbolos $\overline c_i$. $L(\mathfrak A)$, además, tiene una constante de símbolos $\overline a$ todos los $a \in |\mathfrak A|$.

Continuación, véase la página 67 :

Si $\varphi$ es una fórmula con variables libres, decir $FV(\varphi) = \{ z_1,\ldots, z_k \}$, entonces decimos que la $\varphi$ está satisfecho por $a_1,\ldots, a_k \in |\mathfrak{A}|$ si $\mathfrak{A} \vDash \varphi[\overline a_1,\ldots, \overline a_k/z_1,\ldots, z_k]$ [...].

La definición de $\hat{\mathfrak{A}}$, en la página 112, no es nada nuevo :

Ya que a menudo se unen todos los elementos de a $|\mathfrak A|$ $\mathfrak A$como constantes, es conveniente disponer de una notación especial para el enriquecimiento de la estructura: $\hat{\mathfrak{A}} = (\mathfrak{A}, |\mathfrak{A}|)$.

Por lo tanto, tenemos que : $\hat{\mathfrak{A}} \vDash \varphi (\overline a_1,\ldots, \overline a_n)$ conlleva $\mathfrak{A} \vDash \varphi(\overline a_1,\ldots, \overline a_n)$ debido a que el enriquecido strucure $\hat{\mathfrak{A}}$ se obtiene a partir de a$\mathfrak{A}$ ", agregando que" todos los $a \in |\mathfrak{A}|$ como distinguidos elementos.

De esta manera, para la estructura $\hat{\mathfrak{A}} = (\mathfrak{A}, |\mathfrak{A}|)$, los dos conjuntos de constantes [símbolos] : $\{ \overline c_i |i \in I \}$ $\{ \overline c_i |i \in I \} \cup \{ \overline a_i |$ todos los $a \in |\mathfrak{A}| \}$ son los mismos.

Lo que ha sucedido es que hemos ampliado el idioma original $L$$L'$, la adición de nuevos símbolos : un nombre para cada objeto en el dominio.

Tras haber ampliado el idioma, tenemos que ampliar también la estructura, debido a una estructura $\mathfrak A$ es un dominio de $A$ , además de una función de $\mathcal I$ "mapeo" de los símbolos de la lengua en los objetos y los subconjuntos de a $A$.

Por lo tanto, tenemos que extender la asignación de $\mathcal I$ a fin de tener en cuenta los nuevos símbolos de la ampliación del lenguaje : pero el dominio no cambia.

C. C. Chang & H. Jerome Keisler, Modelo de la Teoría (3ª ed - Dover reimpresión), página 21 :

Los procesos de expansión y reducción [de un modelo o estructura), no cambie el universo de la modelo.