Corona de los Productos de los Grupos Simétricos

Question

Actualmente estoy en el proceso de la lectura de un artículo de D. Bundy de La conectividad de los desplazamientos de los gráficos. En la sección 3 (en los Resultados Preliminares) Bundy nos da el siguiente resultado:

$\mathbf{(3.1)}$ Deje $G=\operatorname{Sym}(n)$ $H$ ser el estabilizador en $G$ de un sistema de imprimitivity con bloques de tamaño $s$$1<s<n$. A continuación, $H$ es un subgrupo maximal de a $G$.

Prueba. La escuela primaria. $\Box$

Me temo que no veo cómo probar esto. En efecto, supongamos que $1<s<n$ y $st=n$ algunos $1<t<n$. Entonces tenemos que $H\cong \operatorname{Sym}(s)\wr\operatorname{Sym}(t)$, por lo que el resultado es equivalente a probar que si $1<t,s<n$$ts=n$, entonces la copia de $\operatorname{Sym}(s)\wr\operatorname{Sym}(t)$ $\operatorname{Sym}(n)$ es máxima en $\operatorname{Sym}(n)$. Cualquier ayuda a ver por qué esto es cierto, sería muy apreciado.

Answer 1

Voy a escribir $S_n$ en lugar de ${\rm Sym}(n)$. Deje $H$ ser el natural de la copia de$S_s \wr S_t$$S_n$, y deje $H < G \le S_n$. Queremos demostrar que $G=S_n$.

El estabilizador $H_\alpha$ de un punto de $\alpha$ $H$ tiene tres órbitas, o longitudes de 1, $s-1$$s(t-1)$. Si los dos no trivial de las órbitas están fusionados en $G$ a una sola órbita, a continuación, $G$ 2-transitiva. Pero luego, desde el $H$ contiene transposiciones (como elementos de $S_s$), $G$ contiene todos los relatos y, por lo tanto es igual a $S_n$.

De lo contrario, $G_\alpha$ tiene el mismo tres órbitas como $H_\alpha$. Desde $H_\alpha$ actúa como $S_{s-1}$ en la órbita de la longitud de la $s-1$, la acción de la $G_\alpha$ en la órbita de la longitud de la $t(s-1)$ estrictamente debe contener la de $H_\alpha$. Esto no es posible cuando se $t=2$ (desde entonces $H_\alpha$ actúa como $S_s$ a que la órbita), por lo $t>2$, y podemos asumir por inducción que $G_\alpha$ actúa como $S_{t(s-1)}$ en esa órbita. Pero ahora, si tenemos en cuenta $H_\beta$ $G_\beta$ para un punto de $\beta$ en la órbita, en la órbita de las $H_\beta$ de la longitud de la $s-1$ está dentro de esa órbita, y por lo tanto es estrictamente contenida en una órbita de $G_\beta$. Por lo $G_\beta$ tiene sólo dos órbitas, lo cual es una contradicción, porque $G_\alpha$ $G_\beta$ son conjugado en $G$.