Fórmula Simple para Describir a $\zeta$ en Una sola vez

Question

Yo estaba buscando una fórmula simple que se puede describir de Riemann Zeta $\zeta$ en una sola vez, en $\mathbb C-\{1\}$, pero realmente no podía encontrar uno. Podría alguien ayudarme a encontrar uno?

Yo sé una manera de hacer esto, pero le da un ridículamente complicado fórmula:

De continuación analítica de $$\Xi(s)=\frac1{s-1}-\frac1s+\int_1^\infty(u^{-s/2-1/2}+u^{s/2-1})\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2u}du$$ which holds for $s\in\mathbb{C}-\{0,1\}$, we can deduce a general formula of $\zeta$: $$\begin{align} \zeta(s) &= \pi^{s/2}\frac{\Xi(s)}{\Gamma(s/2)}\\ &= \pi^{s/2}\left(\frac1{s-1}-\frac1s+\int_1^\infty(u^{-s/2-1/2}+u^{s/2-1})\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2u}du\right)\left(e^{\gamma s/2}\frac s2 \prod_{n=1}^\infty (1+\frac s{2n})e^{-s/(2n)}\right)\\ &=\frac12(\pi e^{\gamma})^{s/2}\left(\frac 1{s-1}+s\int_1^\infty(u^{-s/2-1/2}+u^{s/2-1})\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2u}du\right)\left(\prod_{n=1}^\infty \frac{1+\frac s{2n}}{e^{s/(2n)}}\right) \end{align}$$ Por lo tanto podemos escribir una fórmula explícita de $\zeta$ que debe contener para $\mathbb C-\{1\}$ como la siguiente: $$\zeta(s)=\frac12(\pi e^{\gamma})^{s/2}\left(\frac 1{s-1}+s\int_1^\infty(u^{-s/2-1/2}+u^{s/2-1})\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2u}du\right)\left(\prod_{n=1}^\infty \frac{1+\frac s{2n}}{e^{s/(2n)}}\right)$$

Tenga en cuenta que infinito producto de $\frac1{\Gamma(s/2)}$ fue utilizado para hacer la expresión más directa.

Answer 1

Creo que la fórmula que anon se refiere es $$ \forall s \in \mathbb{C} \setminus \{ 1 \}: \quad \zeta(s) = \frac{1}{1 - 2^{1-s}} \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k} (k + 1)^{s} \right]. $$ No veo cómo una integral de contorno se utiliza para calcular cada término. Las referencias pertinentes son:

• Havil, J. Gamma: la Exploración Constante de Euler. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.
• Hasse, H. Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche Zeta-Reihe. De matemáticas. Z. 32, 458-464, 1930.

Espero que esto ayude. :)

Answer 2

También hay un integrante de la fórmula:

$$ \zeta \left( s \right) =\frac{1}{2}+ \frac{1}{s-1}+2\,\int _{0}^{ \infty }\!{\frac {\sin \left( s\arctan \left( t \right) \right) }{ \left( {t}^{2}+1 \right) ^{s/2} \left( -1+{{\rm e}^{2\t\pi }} \right) }}{dt} $$ (según Arce)