Un problema polinómico, Fuente: AOPS

Question

Dejemos que $f(x)$ sea un polinomio de coeficientes reales tal que si $n\equiv 5 \pmod{10}$ o $n\equiv 8\pmod{10}$ entonces $f(n)$ es un número entero ( $n$ es un número entero). ¿Es cierto que $f(0)$ es un número entero?

Estoy seguro de que la respuesta es sí. ¿Pero por qué? Por favor, ayúdeme.

Answer 1

Supongamos que $f \in \mathbb{C}[x]$ es tal que $f(10u+5)$ y $f(10u+8)$ son enteros, para todos los enteros $u$ .

Reclamación: $\;f(0)$ es un número entero.

Prueba:

Desde $f(v)$ es un número entero para infinitos enteros $v$ se deduce, por interpolación de Lagrange, que $f$ tiene coeficientes racionales.

Dejemos que $g\in\mathbb{Q}[x]$ sea tal que $f(x)=xg(x) + f(0)$ .

Dejemos que $G\in \mathbb{Z}[x]$ sea tal que $g(x) = {\large{\frac{G(x)}{D}}}$ , donde $D$ es un número entero positivo.

Escribe $D=(2^a)(5^b)D'$ , donde $a,b$ son enteros no negativos, y $D'$ es un número entero positivo, con $\gcd(D',10)=1$ .

Elija $m,n\in\mathbb{Z}$ tal que

• $D'{\,\mid\,}(2m+1)$ y $5^b{\,\mid\;}5(2m+1)$$ \\[4pt]$
• $D'{\,\mid\,}(5n+4)$ y $2^a{\,\mid\;}2(5n+4)$

Entonces \begin{align*} &f(10m+5)\in \mathbb{Z}\\[4pt] \implies\;&(10m+5)g(10m+5)+f(0)\in \mathbb{Z}\\[4pt] \implies\;&\left(5(2m+1)\frac{G(10m+5)}{D}\right)+f(0)\in \mathbb{Z}\\[4pt] \implies\;&2^af(0)\in \mathbb{Z} \end{align*} y \begin{align*} &f(10n+8)\in \mathbb{Z}\\[4pt] \implies\;&(10n+8)g(10n+8)+f(0)\in \mathbb{Z}\\[4pt] \implies\;&\left(2(5n+4)\frac{G(10n+8)}{D}\right)+f(0)\in \mathbb{Z}\\[4pt] \implies\;&5^bf(0)\in \mathbb{Z} \end{align*} por lo tanto, cuando se reduce a los términos más bajos, el denominador de $f(0)$ es a la vez una potencia de $2$ y un poder de $5$ .

De ello se desprende que $f(0)$ es un número entero.

Answer 2

Supongamos que $f$ es lineal. Entonces $f(n) = an+b$ .

$f(10n+5) =a(10n+5)+b =50n+5a+b $ y $f(10m+8) =a(10m+8)+b =50m+8a+b $ .

Como son números enteros, al igual que $n$ y $m$ , por lo que son $5a+b=u$ y $8a+b=v$ .

Por lo tanto, $8u-5v =3b$ es un número entero.

De la misma manera, $5u-3v =a+2b $ es un número entero.

Por lo tanto, $3a = 3(a+2b)-2(3b)$ es un número entero. (También de $v-u = 3a$ )

Si $a=b=\frac13$ , entonces $5a+b = 2$ y $8a+b = 3$ , así que $\frac13 n+\frac13$ funciona sin coeficientes enteros.